Cтраница 4
За сравнительно короткое время развития метода обратной задачи учеными разных стран - СССР, США, Италии, Англии, Японии и др. - был накоплен огромный фактический материал, изложить который в одной книге практически невозможно. Было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, в конечном счете приводящих к одним и тем же результатам. Один из таких подходов был создан в итальянской школе. В основе его лежит исследование некоторых алгебраических свойств нелинейных интегрируемых уравнений. [46]
В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Это будет сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, по следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [47]
Во втором параграфе комментируемой статьи исследуется вопрос о рождении комплексных предельных циклов при таких возмущениях. Оказывается, что задача о рождении циклов сводится к исследованию нулей абелева интеграла, рассматриваемого как функция параметра. Это исследование лежит на границе алгебраической геометрии и дифференциальных уравнений. Возмущении интегрируемых уравнений рассматриваются в § 3 комментария. [48]
Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений - солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях. Новейшее развитие теоретической физики показало, что солитоны играют важную роль во многих физических ситуациях - в гидродинамике, в физике плазмы, в физике конденсированных сред, в теории элементарных частиц и в космологии. Далеко не всегда реальные физические солитоны описываются исключительными с математической точки зрения интегрируемыми нелинейными уравнениями. Однако такие ситуации случаются довольно часто. Математическая теория солитонов, как иногда называют теорию нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных, имеет очень большие перспективы в физических приложениях. [49]