Cтраница 4
Если: 1) сила F имеет потенциал и 2) плотность есть функция давления, то вихревые линии и интенсивности вихревых трубок обладают свойством сохраняемости. [46]
Полагая здесь a V и рассматривая поверхность о как произвольное сечение вихревой трубки, придем к следующей теореме Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности трубки и один раз ее опоясывающему. [47]
Так как выполнены условия теоремы Томсона, то циркуляция по любому жидкому контуру не зависит от времени и, следовательно, интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем. [48]
Если последнее слагаемое в уравнении ( 109) не обращается в нуль, то вихревые линии не обязательно вморожены в жидкость, а интенсивность вихревой трубки меняется со временем. В результате в идеальной жидкости, в которой энтропия непостоянна по всей массе, появляется возможность создания и разрушения вихрей. [49]
Второй вывод - так как, согласно теореме Стокса, интенсивность вихревой трубки определяется циркуляцией скорости по контуру, окружающему вихревую трубку, то очевидно, что интенсивность вихревой трубки не изменяется с течением времени. Последнее следствие известно в гидромеханике как третья теорема Гельмгольца. [50]
В 1858 году Гельмгольц в своем знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря 2, из которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В. [51]
Изучение кинематики вихревых линий в случае, когда не приложима либо одна, либо обе теоремы Гельмгольца, обнаруживает фундаментальное значение символа nelm А в проблеме изменения вихревых нитей и интенсивности вихревых трубок. [52]
Известно, что вихревые линии в несжимаемой жидкости подчиняются двум теоремам Гельмгольца; первая из них утверждает, что частицы жидкости, которые в заданный момент находятся на вихревой линии, всегда останутся на вихревой линии, вторая, - что интенсивность вихревой трубки не изменяется со временем. Следовательно, кинематически эти два свойства независимы. Иначе говоря, кинематически можно представить движения, которые подчиняются первой теореме Гельмгольца и не подчиняются второй и наоборот. [53]
Интенсивность любой вихревой трубки во все время движения остается постоянной. [54]