Cтраница 4
Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного ( разбивка на конечные элементы) и вариационного ( использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЗ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационных методах. [46]
Теперь мы должны вычислить матричные элементы и затем, решая уравнения (3.21), получить собственные функции и структуру энергетических зон. Однако при нашем методе определения матричных элементов по связывающим ор биталям через матричные элементы по атомным орбиталям из табл. 2.1 пользоваться связывающими и антисвязывающими орбиталями неудобно. Тогда видно, что существуют матричные элементы между этой орбиталью и ближайшими соседними связывающими орбиталями. Имеются также матричные элементы между рассматриваемой орбиталью и вторыми ближайшими соседними связывающими орбиталями; эти матричные элементы возникают изнза гибридизованных орбиталей двух ближайших соседних атомов, расположенных между указанными связывающими орбиталями. При таком выборе базисных функций утрачивается простота вычислений, которая имела место при учете матричных элементов только между ближайшими соседями. [47]
Основная идея метода Бубнова - Галеркина [17] состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [48]
Широкое распространение в задачах устойчивости конвективных течений получил метод Галеркина ввиду его простоты и универсальности. Основная идея этого метода ( см. [18]) состоит в том, что приближенное решение амплитудной задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Задача сводится, таким образом, к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и их числом. [49]
Суть этого метода заключается в определенной оптимизации орбиталей с тем, чтобы получить наилучшую приближенную многоэлектронную волновую функцию данного вида. Другими словами, в качестве волновой функции мы будем брать одно слагаемое из суммы (3.1.4), причем так будем выбирать молекулярные орбитали, чтобы получить наилучшее при ближение к точной волновой функции. В орбитальном приближении которое фактически только и рассматривается в этой книге, каждая молекулярная орбиталь строится из некоторого числа базисных функций ( так же, как в разд. В качестве этих базисных функций обычно берут сферически симметричные функции с центрами на разных ядрах молекулы, называемые атомными орбиталями ( АО) ( потому что они сферически симметричны относительно некоторой точки), хотя эти орбитали вовсе не обязательно такие, которые используются для изолированных атомов. Всю процедуру при этом обычно называют процедурой составления линейных комбинаций атомных орбиталей, или приближением метода ЛКАО. Отметим, однако, что наше последующее рассмотрение не зависит от конкретного вида системы или от выбора базисных функций. [50]