Cтраница 1
Интуиционист скажет, что это рассуждение некорректно: доказать существование чего-то означает построить этот объект, а мы так и не построили чисел а и / 3, поскольку не установили, какой из двух случаев имеет место. [1]
Интуиционист считает дизъюнкцию ( а I) р) истинной, если истинно хотя бы одно из предложений а, р и существует способ, позволяющий распознать среди этих двух предложений истинное. [2]
Интуиционисты отказываются принять такое доказательство существования, потому что его заключение существует п, такое, что Р ( п), они могут воспринимать только как ссылку на пример числа п, такого, что Р ( п), а такого примера получено не было. Классическое понимание, обозначающее что где-то в завершенной бесконечной совокупности всех натуральных чисел встречается такое п, что Р ( п), для них не годится, поскольку они не рассматривают натуральные числа как образующие завершенную совокупность. [3]
Интуиционисты не считают, что приведенное выше определение для eyR ( х, у), в котором отсутствует доказательство эффективной вычислимости, действительно служит определением функции. [4]
Интуиционисты не пытаются дать точное определение их понятия доказательства вообще и утверждают, что такое определение принципиально невозможно. [5]
Интуиционист считает дизъюнкцию ( a. U 3) истинной, если истинно хотя бы одно из предложений а, р и существует способ, позволяющий распознать среди этих двух предложений истинное. [6]
Интуициониста радуют высказывания типа всякое четное число, меньшее 10, является суммой двух простых, и он согласен, что они либо верны, либо неверны. [7]
Когда интуиционисты ( Брауэр и Вейль) обнаружили в математике трудности, связанные с доказательствами существования, не опирающимися на построение, формалисты ( Гильберт и его школа) сделали попытку найти выход из них, опираясь на это положение Пуанкаре. [8]
Рассуждения интуиционистов строятся примерно так. [9]
Конструктивисты и интуиционисты считали, что построения могут производиться лишь эффективными методами, в принципе допускающими выполнение за конечное время с использованием ограниченных ресурсов. [10]
Конструктивисты и интуиционисты жестко критиковали обычную математику за некритическое применение актуальных бесконечностей и за свободное оперирование с ними как с законченными сущностями. [11]
Конструктивисты и интуиционисты видели корень зла не столько в самих актуально бесконечных объектах, сколько в переносе классической логики за границы сферы ее применимости, в те области, где в принципе нет единых методов решить любую проблему. Соответственно, они переходили к конструктивной логике, в которой на место истинности ставилась реализуемость формул, возможность проведения построения, решающего конструктивную задачу, неявно записанную в данной формуле. [12]
Конструктивисты сходятся с интуиционистами в трактовке предложений о существовании натурального числа с данным свойством как констатации наличия метода построения числа с этим свойством. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкций и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемыми методологич. [13]
Более удивительно, что интуиционист Вейль согласился с тезисом, провозглашающим, что о правильности математики можно судить по степени ее применимости к физическому миру. [14]
Чтобы защитить классическую математику от интуиционистов, нет надобности стремиться пользоваться меньшим, чем они разрешают. Но естественно придерживаться строго элементарных методов до тех пор, пока они достаточны. Все приведенные в § 13 примеры интуиционистских арифметических рассуждений мы будем считать финитными. Мы увидим, что вплоть до одной отдаленной стадии наших метаматематических исследований будет достаточно интуиционистских методов совсем элементарного рода. Окончательным критерием допустимости некоторого метода в метаматематике должна быть, конечно, его интуитивная убедительность. [15]