Cтраница 3
Брауэру и Рейтингу, ее называют, теории видов) принцип свертывания, взятый во всей его силе, оказывается тривиальностью: интуиционисты попросту отождествляют множества и свойства, что не порождает, однако, никаких новых проблем, ибо их свойства, по определению, эффективно проверяемы. [31]
Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что математика - создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний. [32]
Фор м, И н т, П р а г м и С и г н ( в подлиннике Sign) означают формалист, интуиционист, прагматист и сигни-фицист. Кла с с есть представитель классической математики. В дальнейших наших комментариях часто выступает еще один участник спора Кон - представитель конструктивного направления в математике. [33]
Мы уже отметили, что трудности, связанные с вопросом о применимости закона исключенного третьего, отнюдь не носят того абсолютного характера, который им придается интуиционистами. Именно интуиционистская логика, сформулированная в виде конечного списка аксиом и правил вывода ( или соответствующей ему системы одних только правил вывода), может быть адэкватно применима поэтому к определенной области предметов совершенно независимо от гносеологических посылок интуиционизма. [34]
Основным в споре между Пуанкаре и Расселом были парадоксы теории множеств и связывавшаяся с ними проблема порочного круга в определениях и рассуждениях, что еще более четко было выражено в их двух последующих публикациях 1906 г. и нашло затем продолжение в дискуссиях между логицистами и формалистами, а также интуиционистами. Это мы оставляем в стороне, вычленив из упомянутых публикаций кое-что, относящееся к аксиоме выбора. [35]
Интуиционистская точка зрения па понятие бесконечного множества также отличается от точки зрения большинства математиков. Интуиционисты отвергают идею бесконечного множества как замкнутого целого. Они смотрят на бесконечное множество как на нечто, постоянно находящееся в состоянии образования. Поэтому, например, множество всех положительных целых чисел не рассматривается ими как замкнутое целое. [36]
Интуиционистская точка зрения на понятие бесконечного множества также отличается от точки зрения большинства математиков. Интуиционисты отвергают идею бесконечного множества как замкнутого целого. Они смотрят на бесконечное множество как на нечто, постоянно находящееся в состоянии образования. Поэтому, например, множество всех положительных целых чисел не рассматривается ими как замкнутое целое. [37]
На вопрос: где же заключена научная точность, обе стороны отвечают различно. Интуиционист говорит: в человеческой мысли, формалист: на бумаге. [38]
На этом законе основана математическая процедура доказательства от противного, упомянутая на с. Но интуиционисты считают допустимым отвергать справедливость этого закона. Основная причина здесь в том, что они занимают иную позицию по отношению к понятию существования, требуя, чтобы перед признанием существования математического объекта предъявлялось его конкретное ( мысленное) построение. То есть, для интуиционалиста существование означает конструктивное существование. В математическом доказательстве, использующем принцип доказательства от противного, сперва выдвигается некая гипотеза, ложность которой затем устанавливается путем обнаружения противоречий, к которым приводят следствия из этой гипотезы. Эта гипотеза может принимать форму утверждения о том, что математический объект с требуемыми свойствами не существует. Когда это приводит к противоречию, то в обычной математике делается вывод о том, что данный объект да, существует. Но подобное доказательство, само по себе, не содержит руководства для построения такого объекта. Такое существование для интуициониста существованием отнюдь не является; и именно на этом основании они отказываются признавать закон исключенного третьего и процедуру доказательства от противного. [39]
Предлагаемая вниманию читателя книга Рейтинга посвящена систематическому изложению интуиционизма - направления в математике, возникшего в начале нашего века благодаря работам Брауэра, Вейля и автора книги. Хотя взгляды интуиционистов полностью разделяются сейчас лишь очень немногими математиками, глубоко неправы те, кто видит в интуиционизме лишь некий курьез ( ср. Дело в том, что многие из этих взглядов были восприняты и усвоены математиками конструктивного направления, не удовлетворенными господствующим в настоящее время теоретико-множественным образом мышления. Эти математики разделяют, в частности, критическое отношение интуиционистов к закону исключенного третьего. [40]
Конструктивисты сходятся с интуиционистами в трактовке предложений о существовании натурального числа с данным свойством как констатации наличия метода построения числа с этим свойством. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкций и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемыми методологич. [41]
Это может быть достигнуто даже конструктивными методами, так как мыслимы определения конструктивности, отличные от определения, защищаемого интуиционистами. Ведь даже немногие существующие сейчас интуиционисты не согласны полностью друг с другом относительно определения конструктивного. Наиболее ярким примером является отклонение Гриссом понятия отрицания, которое другие интуи-циовисты считают совершенно ясным [ Фрейденталь, 1936А, Грисс, 1946, стр. С другой стороны, кажется вероятным, что несколько более либеральная концепция конструктивного могла бы спасти жизненно важные части классической математики. [42]
С точки зрения реалистов мир населен объектами и типы являются придуманными человеком абстракциями, которые необходимы ему лишь для классификации объектов. С точки зрения конструктивистов ( интуиционистов) типы являются основными концептуальными составляющими предметной области, а объекты существуют лишь в той степени, в какой они порождаются теми или другими типами данных. Таким образом, реалисты постулируют существование глобальной вселенной, созданной богом, в то время как конструктивисты требуют, чтобы существование чего-либо было подтверждено способом его построения или наблюдения. [43]
Брауэровская критика классической логики в применении к бесконечному множеству D ( например, натуральному ряду чисел) возникает вследствие этой точки зрения на бесконечность. Это ясно видно из рассмотрения значений, которые интуиционисты связывают с различными видами высказываний. [44]
Brouwer, 1908) выступил против применения правил классич. Допуская существование сколь угодно больших натуральных чисел, интуиционисты выступают против рассмотрения натурального ряда как завершенного множества. Если предположение о том, что искомый объект не существует, приведено к противоречию, то это, по мнению интуиционистов, не может рассматриваться как доказательство существования. [45]