Cтраница 2
Рейтинг добавляет: Но для интуиционистов эта интерпретация является существенной вещью [ 1934, стр. [16]
Дизъюнкция А или В является для интуициониста неполным сообщением о высказывании, которое утверждает, что А имеет место или что В имеет место или по крайней мере дает метод, посредством которого из А и В можно выбрать одно, которое имеет место. Конъюнкция А и В означает, что оба высказывания, А и В, имеют место. Импликация А влечет В ( или если А, то В) выражает, что В следует из Л в силу интуиционистского рассуждения, или, более явно, что имеется метод, который по каждому доказательству А позволяет получить некоторое доказательство В. [17]
Последнее замечание связано также с тем, что интуиционисты по-другому истолковывают смысл пропозициональных связок. [18]
Причина недоразумения состоит в том, что обычно интуиционист вовсе не склонен толковать эффективность теоретико-множественно. В этом смысле приведенное выше толкование является вырожденным, нестандартным. Если утверждается существование конструкции, то предполагается, что онтологически имеется потенциально осуществимый процесс построения этой конструкции. Таким образом, в рамках математической теории должны приниматься во внимание возможности субъектов-исследователей. [19]
Мне кажется, что различие между формалистами и интуиционистами является главным образом различием вкуса. Вы также используете осмысленные рассуждения в той теории, которую Гильберт называет метаматематикой, но вы ставите себе целью отделить их от чисто формальной математики и ограничиться поэтому как можно более простыми рассуждениями. Мы же в противоположность этому заинтересованы не в формальной стороне математики, а именно в том типе рассуждений, которые применяются в метаматематике; мы стараемся проследить его до самых далеких следствий. Это предпочтение проистекает из убеждения, что мы здесь имеем дело с одной из самых основных способностей человеческого разума. [20]
Пуанкаре характеризует аналитиков и геометров, или логиков и интуиционистов, и приводит примеры того и другого типа. Но Эрмит путает ему все карты. [21]
В классической математике встречаются неконструктивные или косвенные доказательства существования, которых не принимают интуиционисты. [22]
В настоящее время основными направлениями в иностранной философии математики являются учения логистов, интуиционистов и формалистов. Если воззрения школы Ресселя в русской литературе представлены несколькими переводными работами), то изложений идей двух других и притом более новых течений почти совершенно не имеется. Работы Пуанкаре2) поставить в счет здесь, разумеется, нельзя, ибо современный интуиционизм во многом отличается от старого. [23]
Поэтому в высшей степени неправдоподобно, чтобы более широкая концепция конструктивности могла получить поддержку интуиционистов. Что же касается вивисекции над математикой, в которой вы меня обвиняете, то ее нужно принимать как неизбежное следствие наших исходных установок. [24]
На путях формализма не существует, таким образом, выхода из трудностей, которые заставили интуиционистов провозгласить кризис основ математики и объявить эту науку покоящейся на безнадежно шатком фундаменте. [25]
Тем самым Гильберт отдает предпочтение четкому разграничению: он становится строгим формалистом в математике, строгим интуиционистом в метаматематике. [26]
Пример аналитической теории чисел показывает, что теоремы анализа ( не имеющие смысла, приемлемого для интуиционистов) часто влекут теоремы арифметики, осмысленные интуиционистски, для которых либо вовсе не известны неаналитические доказательства, либо известны лишь гораздо более сложные. [27]
Мы видим, насколько далек был уже в ту пору молодой советский ученый от безнадежного пессимизма интуиционистов, считавших заранее обреченными на неудачу все попытки отыскать выход из провозглашенного ими кризиса основ математики. [28]
Для формалистской позиции будет затруднительным объяснить, каким образом неинтуиционистская классическая математика оказывается осмысленной, если согласиться с интуиционистами в том, что ее теоремам недостает реального смысла, в терминах которого они были бы истинны. [29]
Это может быть достигнуто даже конструктивными методами, так как мыслимы определения конструктивности, отличные от определения, защищаемого интуиционистами. Ведь даже немногие существующие сейчас интуиционисты не согласны полностью друг с другом относительно определения конструктивного. Наиболее ярким примером является отклонение Гриссом понятия отрицания, которое другие интуи-циовисты считают совершенно ясным [ Фрейденталь, 1936А, Грисс, 1946, стр. С другой стороны, кажется вероятным, что несколько более либеральная концепция конструктивного могла бы спасти жизненно важные части классической математики. [30]