Cтраница 4
Ввиду того, что этот закон первоначально рассматривался применительно к конечным множествам и, учитывая, что многие свойства конечных множеств не выполняются для бесконечных множеств ( напр. Ферма имеет положительное решение или имеет отрицательное решение, интуиционист должен указать соответствующее решение этой проблемы. А пока проблема Ферма не решена, эта дизъюнкция считается неправомерной. Такое же требование предъявляется к пониманию всякой дизъюнкции. Это требование интуиционистов может создать затруднения и в случае рассмотрения задач, связанных с конечными множествами. Представим себе, что кто-то, закрыв глаза, достает шар из урны, в к-рой имеются три черных и три белых шара, и тут же бросает этот шар обратно. [46]
Из этого не следует, будто советские математики отрицают вообще наличие трудностей, связанных с задачей обоснования математики. Они подмечают подчас такие трудности, которые прошли мимо внимания интуиционистов и логистов, хотя относятся к широко известнмм парадоксам логики и теории множеств. Один из таких примеров принадлежит Н о в и к о в у. [47]
Замечательной особенностью всей математики, столь затрудняющей доступ к ней профанам, является щедрое употребление в ней символов. С интуиционистской точки зрения это отнюдь не существенный признак математики; интуиционист видит в символах как и в человеческой речи, только вспомогательное средство, служащее благодаря процессу фиксации опорой нашей памяти и позволяющее передавать мысли другим. Иначе обстоит дело в системе формализма. Для него математика целиком и полностью состоит из символов, не имеющих никакого раскрывающегося в чувственной или духовной интуиции значения, символов, с которыми оперируют согласно твердо установленным правилам; человеческая же речь, например, при описании замещения и практического правила умозаключения и в математических рассуждениях, служит для ( принципиально говоря, всегда остающегося ненадежным, объяснения, именно для) сообщения о способах действия и обладающих значением духовных актов мышления. [48]
Для интуиционизма характерно представление о процессе установления истинности того или иного высказывания как о нек-ром становящемся процессе. Наряду с суждениями, истинность или ложность к-рых установлена к данному моменту, интуиционист допускает непроверенные суждения. Такие суждения, не будучи истинными в данный момент, не являются и ложными, однако их истинность или ложность со временем может быть установлена. [49]
Значительно более четко, чем в интуиционизме, были выделены основные абстракции, допустимые в конструктивизме: абстракция отождествления и абстракция потенциальной осуществимости. Таким образом, считалось, что абстрактное математическое построение отвлекается от несущественных для формализации различий между объектами ( например, от порядка, в котором были написаны буквы слова и от того, записано данное слово на бумаге, на доске или в памяти компьютера) и от реальных ограничений на допустимое время и другие ресурсы, потребные для проведения преобразований. Конечно, интуиционисты также принимали эти абстракции, но они предпочитали не столь жестко их формулировать и не придавать их списку полный и ограничительный характер. [50]