Cтраница 1
Геометрическая интуиция подсказывает, что если /: S - Rm непрерывна в точке с, то она должна быть непрерывна и в точках, близких к с. Однако это неверно по двум причинам. [1]
Доверие к несколько туманной геометрической интуиции было заменено определением действительных чисел как некоторых объектов, построенных из натуральных, целых или рациональных чисел. [2]
Действительно, ссылки на геометрическую интуицию в доказательствах анализа не внушают доверия критически вышколенному уму. Даже не затрагивая вопроса о точности или неточности нашей интуиции вообще или о существовании чистого наглядного представления в смысле Канта, легко убедиться, что рассмотрение, основанное на наивной интуиции, содержит в себе слишком много неопределенного и уже в силу этого не должно иметь места в строгих доказательствах анализа. [3]
Но достаточно сказать, что геометрическая интуиция и понимание, которые дает общее понятие многообразия, с лихвой вознаграждают относительно небольшие усилия, требующиеся для усвоения этого определения. Однако если нам все же не удалось убедить читателя, он может заменять слово многообразие там, где оно встречается, на открытое подмножество евклидова пространства, не очень теряя аромат этой теории и не слишком сужая пределы ее применимости. При таком подходе можно ограничиться параграфами, относящимися к локальным группам Ли ( на самом деле именно этим путем сам Ли пришел к группам Ли), и использовать локальные группы Ли как основные объекты изучения. [4]
Излагаемый далее материал апеллирует к геометрической интуиции и не претендует на строгость доказательств. [5]
Вместо того, чтобы ссылаться на геометрическую интуицию, легко дать чисто аналитическое доказательство необходимого условия экстремума ( ср. Если есть точка, в которой функция имеет максимум, то выражение / () - / ( Ц - Л) должно быть при всяком ртличном от нуля достаточно малом h положительным. Следовательно, отношение h будет положительно или отрицательно, смотря по тому, будет ли h иметь отрицательное или положительное значение. Предел этого отношения, когда h стремится к нулю, пробегая отрицательные значения, не может быть отрицательным; в то же время он не может быть положительным, если h стремится к нулю, оставаясь положительным. [6]
Такие слова обычно означают у Ниркгофа привлечение геометрической интуиции. [7]
Когда число независимых переменных больше трех, то геометрическая интуиция перестает служить, но и в этом случае часто продолжают пользоваться геометрическим способом выражения. [8]
Приведенные соображения основываются, главным образом, на геометрической интуиции и поэтому требуют аналитического подтверждения. Мы покажем, Ч7о между углами поворота первого и второго валов существует функциональная зависимость. [9]
Эрмит отмечает, что Понселе, следуя своей геометрической интуиции, подошел к самым высшим теориям анализа. Эрмит упоминает теоремы Понселе о движущихся многоугольниках, вписанных в кривую второго порядка и описанных вокруг одной или нескольких других. Прекрасное открытие Якоби обнаружило гесную связь этого исследования с теорией эллиптических функций и формулами этой теории, которые касаются умножения аргумента на целое число. Затем перечисляются другие заслуги Понселе, в частности изобретение им гидравлического колеса, которое превзошло все, что было сделано до него, а также создание новой системы подъемных мостов. [10]
Первое и самое важное обобщение понятия интеграла подсказано геометрической интуицией, как, впрочем, и сам обыкновенный интеграл. Рассмотрим замкнутую область О плоскости ху, ограниченную одной или несколькими криволинейными дугами, имеющими непрерывно вращающуюся касательную, и функцию zf ( x y), непрерывную в G. Предположим сначала, что функция / не принимает отрицательных значений, и представим себе ее геометрическое изображение в виде куска поверхности в пространстве xyz, расположенного над областью Q. Через каждую точку границы области О проведем прямую, параллельную оси z; совокупность этих прямых образует цилиндрическую поверхность, перпендикулярную к плоскости ху. Построенная нами цилиндрическая поверхность, область G плоскости ху и заданная поверхность z / ( jc, y) отграничивают часть пространства или тело. Мы ставим себе целью найти ( или, точнее, определить, так как такое определение еще не было - дано) объем V описанного выше тела. [11]
Исторически возникновение понятия иррациональт ного числа имеет своим источником геометрическую интуицию и потребности геометрии. Представим себе числовую ось с нанесенным на ней всюду плотным множеством рациональных точек. На этой оси имеются тогда еще и другие числа; по-видимому, это впервые показал Пифагор и сделал он это, примерно, следующим образом. Это число заведомо не является рациональным. [12]
В следующей лемме предлагается эквивалентное определение, более согласующееся с геометрической интуицией. [13]
Если читатель сможет убедить себя в том, что он обладает тг-мерной геометрической интуицией)), то предыдущие рассуждения могут быть восприняты как доказательство, верное в пространстве п измерений. [14]
В элементарной динамике мы все исходим из общих оснований, потому что обладаем наглядной геометрической интуицией движения частицы, и этой интуиции подчиняем формулы, которыми пользуемся. [15]