Cтраница 3
В отличие от шахматных правил аксиомы геометрии и теоретической механики опираются на интуитивные представления. В самом деле, геометрическая интуиция столь сильна, что склонна опережать логическое рассуждение. [31]
До недавнего времени объединяющим началом математики была именно геометрия, так как именно интуитивное восприятие пространства было основой общематематической интуиции. Возможно, что в настоящее время одной геометрической интуиции уже недостаточно для плодотворного развития математики. По-видимому, неразвитость интуитивного восприятия времени у современного человека тормозит развитие тех частей математики, которые необходимы для геологии, биологии и психологии, поскольку для описания процессов развития требуется более ясное понимание структуры времени, чем для описания движения частиц. [32]
Это в свою очередь требует точного знания исходных определений и теорем. К сожалению, поступающие часто считают, что геометрическая интуиция всегда поможет им дать правильные определения и формулировки аксиом. В результате оказывается, что в лучшем случае даются эквивалентные формулировки, а это приводит к неожиданным осложнениям в доказательствах теорем. [33]
Все рассматриваемые понятия становятся почти очевидными, если прибегать к геометрической интуиции; мы надеемся, что читатель воспользуется этим. [34]
Мы воспринимаем окружающий мир в основном при помощи зрения, а геометрическая интуиция тесно связана со зрением. В геометрии часто в буквальном смысле можно увидеть то, что происходит. [35]
Это относится, в частности, к изометриям - унитарным и ортогональным операторам. Так как в комплексном случае алгебраическая картина ( при некоторой потере геометрической интуиции) становится проще, то часто применяют операцию ( или, как еще говорят, функтор) комплек-сификации к вещественным пространствам и операторам, а при помощи обратной операции ( функтора овеществления) возвращаются к первоначальным объектам. [36]
При изложении аналитической геометрии в двумерной плоскости и в трехмерном пространстве мы заменили обозначения х, х2, х3 на традиционные х, у, г. Мы продолжаем придавать большое значение уравнениям прямой и плоскости в нормальном виде. Обобщение этих понятий на n - мерный случай создает по аналогии нужную геометрическую интуицию в л-мерном пространстве. [37]
Оказывается, что полиэдральные выпуклые множества - это в точности то же самое, что Конечнопорожденные выпуклые множества. Этот классический результат является ярким примером утверждения, совершенно очевидного с точки зрения геометрической интуиции, но имеющего важное алгебраическое содержание и отнюдь не тривиально доказываемого. Доказательство, которое мы дадим, основано на теории фасадов выпуклых множеств. Такой подход к теореме вскрывает причины интуитивной убежденности в ее справедливости. Возможно также и чисто алгебраическое доказательство, которое требует менее сложного технического аппарата. [38]
Но это, конечно, можно доказать и строго, не обращаясь к геометрической интуиции. [39]
Примерно в это же время Атья [11] и Коннер и Флойд [26] независимо друг от друга ввели группы бордизмов. Из всех возможных групп гомологии группы бордизмов, по-видимому, теснее всего связаны с геометрической интуицией, лежащей в основе гомологических понятий. [40]
Интерпретация значения в точке как гомоморфизма привела к общей точке зрения на теорию колец, согласно которой коммутативное кольцо очень часто может быть интерпретировано как кольцо функций на множестве, точки которого соответствуют гомоморфизмам исходного кольца в поля. Исходным примером является кольцо К [ С ], где С - алгебраическое многообразие, а с него геометрическая интуиция распространяется на более общие кольца. [41]
В более полных курсах анализа это строго доказывается с помощью так называемой теоремы Лагравжа. Что же касается приведенных нами соображений, то они по существу лишь разъясняют суть дела, опираясь на геометрическую интуицию. [42]
В более полных курсах анализа это строго доказывается с помощью так называемой теоремы Лагранжа. Что же касается приведенных нами соображений, то они по существу лишь разъясняют суть дела, опираясь на геометрическую интуицию. [43]
Мы не будем здесь ссылаться на этот факт, не станем также и на ту точку зрения, что существование площади обеспечивается геометрической интуицией, но дадим общее определение меры области и заодно исследуем, при каких предположениях процесс построения этого понятия имеет смысл. [44]
Дифференциальная геометрия - разветвленная и глубокая область математики, значение которой со временем возрастает, начинается с теории кривых. Именно в теории кривых впервые в дифференциальной геометрии даются точные определения и понятия, вводятся инвариантные геометрические характеристики поведения кривых, именно здесь вырабатывается первоначальная геометрическая интуиция, которая затем развивается и углубляется при изучении поверхностей и подмногообразий. [45]