Cтраница 3
Существует несколько основных подходов для выделения разрывов при численном моделировании газодинамических течений. В одном из них разрывы рассматриваются как поверхности, на которых подлежащие определению функции теряют непрерывность. [31]
Методы первой группы позволяют точно рассчитывать контактные, сильные и слабые разрывы, однако, они обладают достаточно сложной логикой при программировании и требуют больших затрат машинного времени. Наиболее распространенным методом расчета с выделением разрывов является метод характеристик. [32]
Она также может применяться в расчетах с выделением разрывов. [33]
Во многих случаях решение системы (2.8.1) ищется в ограниченной области независимых переменных х и должны быть сформулированы физические граничные условия. С другой стороны, при использовании методов с выделением разрывов, которые будут описаны в разд. Постановка граничных условий на фиксированных границах вычислительной области не представляет особенных математических трудностей, хотя их численная реализация может оказаться довольно сложной. [34]
Методы с выделением разрывов являются эффективным инструментом решения уравнений газовой динамики. Более того, так как в методах с выделением разрывов аппроксимируются производные только гладких функций, для их вычисления можно использовать конечно-разностные схемы повышенного порядка, уделяя меньше внимания их монотонности. [35]
Они подразделяются на две основные группы: методы с выделением разрывов и методы сквозного счета. [36]
Применения такого метода сквозного счета позволяет получать практически точные решения одномерных задач газовой динамики при полном отсутствии размазывания одиночных тангенциальных разрывов и ударных волн, так как дискретная сетка автоматически подстраивается к ним в процессе счета. Все это делает данный подход сравнимым с методами, основанными на выделении разрывов. К тому же его можно дополнительно использовать для обнаружения разрывов, которые возникают с течением времени из гладких начальных условий. [37]
Эти методы основаны на прямом выделении, или улавливании, разрывов, возникающих в численном решении. Такое выделение обеспечивается построением дискретной сетки, связанной с этими разрывами. Методы с выделением разрывов могут быть разделены на несколько групп. [38]
Как упомянуто выше, система Эйлера уравнений газовой динамики имеет гиперболический тип и часто встречается в различных механических приложениях. Более того, из-за важности этой системы для моделирования аэродинамических течений и принимая во внимание ее относительную простоту, численные методы решения уравнений газовой динамики весьма развиты по сравнению с методами для более сложных гиперболических систем, представляющих механический интерес. По этим причинам методы с выделением разрывов для уравнений Эйлера, описывающих течения идеального газа и химически реагирующих смесей, будут рассмотрены отдельно в гл. Ниже обсуждаются лишь некоторые общие черты метода с выделением плавающих разрывов. [39]
В окрестностях разрывов разностная аппроксимация производных должна быть проведена с использованием только односторонних конечных разностей. При этом для учета направлений распространения возмущений и соответствующих им разностных аппроксимаций должны быть использованы характеристические свойства гиперболической системы уравнений. Соотношения на разрывах в методах с выделением разрывов должны выполняться точно, и для их реализации могут быть использованы, например, различного рода итерационные процедуры. Отметим, что так как при этом производные аппроксимируются только в областях гладкости решения, то требования к разностным методам не являются здесь столь ограничительными, как было бы при использовании однородных разностных схем, или разностных схем сквозного счета, см. далее. [40]
В последние годы О. Ф. Васильевым, М. Т. Гладышевым и В. Г. Судо-бичером, опиравшимися на численные методы расчета ударных волн в газовой динамике, предложенные С. К. Годуновым, разработан метод расчета движения прерывных волн в непризматических руслах с учетом трения. Развитый ими численный способ расчета основан на представлении уравнений Сен-Венана в так называемой форме законов сохранения и использовании разностной схемы с пересчетом. Это позволяет решать-задачи о движении прерывной волны без выделения разрыва. Для расчета распространения прерывной волны с выделением разрыва теми же авторами применена подвижная сетка, которая строится в цроцессе расчета. [41]
Качество применяемого для решения гиперболической системы уравнений численного метода сильно зависит от его способности воспроизводить профили разрывов в вычислительной области. Самым хорошим подходом, конечно, является точное удовлетворение законам сохранения на всех разрывах при аппроксимации производных только в областях гладкости решения. Методы, основанные на этом подходе, называются методами с выделением разрывов. Их применение, однако, может привести к значительному усложнению численного алгоритма. Кроме того, разрывы могут появляться в процессе вычислений, тем самым требуя разработки эффективного метода их обнаружения. [42]
Методы с выделением разрывов ( Годунов и др., 1961, 1979; Крайко и др., 1980; По-тапкин, 1983), которые основаны на точных формулах распада произвольного разрыва, не проявляют особой чувствительности к способу вычисления скоростей на фронте выделяемого разрыва. В отличие от них метод самоподстраивающихся подвижных сеток, основанный на приближенном решении задачи Римана по методу Роу, заметно зависит от алгоритма вычисления скоростей. Однако при этом такой метод является методом сквозного счета, а вычисление скоростей подвижных сеток проводится отдельной независимой процедурой. Для точного улавливания и выделения разрыва самоподстраивающимися сетками оказалось удачным использование предельной реконструкции, которая позволяет вычислять распределение скоростей вдоль фронта разрыва с требуемой точностью. [43]
Использование схемы Роу позволяет построить, так называемые, самоподстраивающиеся ( self-adjusting) подвижные сетки для решения задач газовой динамики в рамках методов сквозного счета. Такие сетки автоматически обнаруживают, выделяют, а затем начинают точно отслеживать тот или иной разрыв, возникающий в течении. При этом выделяемые разрывы совсем не обязаны первоначально существовать в течении, а могут появляться позже в процессе вычислений. В отличие от описанных выше методов выделения разрывов подвижной сеткой ( Годунов, Забродин, Прокопов, 1961; Годунов и др., 1976), самоподстраивающееся выделение разрывов производится полностью в рамках метода сквозного счета на подвижных сетках и основано на следующем свойстве метода Роу. [44]
В последние годы О. Ф. Васильевым, М. Т. Гладышевым и В. Г. Судо-бичером, опиравшимися на численные методы расчета ударных волн в газовой динамике, предложенные С. К. Годуновым, разработан метод расчета движения прерывных волн в непризматических руслах с учетом трения. Развитый ими численный способ расчета основан на представлении уравнений Сен-Венана в так называемой форме законов сохранения и использовании разностной схемы с пересчетом. Это позволяет решать-задачи о движении прерывной волны без выделения разрыва. Для расчета распространения прерывной волны с выделением разрыва теми же авторами применена подвижная сетка, которая строится в цроцессе расчета. [45]