Выделение - разрыв
Cтраница 4
Как упомянуто выше, система Эйлера уравнений газовой динамики имеет гиперболический тип и часто встречается в различных механических приложениях. Более того, из-за важности этой системы для моделирования аэродинамических течений и принимая во внимание ее относительную простоту, численные методы решения уравнений газовой динамики весьма развиты по сравнению с методами для более сложных гиперболических систем, представляющих механический интерес. По этим причинам методы с выделением разрывов для уравнений Эйлера, описывающих течения идеального газа и химически реагирующих смесей, будут рассмотрены отдельно в гл. Ниже обсуждаются лишь некоторые общие черты метода с выделением плавающих разрывов. [46]
Существует ряд многомерных газодинамических задач, в которых течение подразделяется на некоторое число отдельных слоев различными поверхностями разрывов. Описанный выше упрощенный алгоритм нетрудно распространить на решение таких задач. При решении этой задачи возникают определенные трудности при выборе алгоритма вычисления скоростей движения точек Вг вдоль неподвижных лучей, который позволил бы устранить движение выделяемого разрыва относительно дискретной сетки. Заметим, что создание такого алгоритма является основной проблемой при построении самоподстраивающихся сеток для выделения разрывов в двумерном и трехмерном случаях. В частности, использование метода Годунова и др. ( 1961) во всей области расчета ( без специального анализа течения на выделяемом разрыве) приводит к движению этого разрыва по сетке и, следовательно, он не может быть выделен точно. [47]
Как известно, разностные схемы можно получить из исходных дифференциальных уравнений путем разложения их в ряд Тейлора или путем интегрирования по конечным площадям при определенных предположениях о распределении переменных между узлами сетки. Второй способ гарантирует соблюдение законов сохранения и допускает лучшую физическую интерпретацию. В нашем случае при построении разностной схемы также можно использовать либо интегральный закон сохранения массы (V.15), соответствующий искомому обобщенному решению, либо разложение в ряд Тейлора уравнения с искусственной вязкостью (V.16), позволяющего при е - - 0 получить интересующее нас обобщенное решение. Причем построение разностных схем на основе интегрального закона сохранения возможно двумя путями: с выделением разрыва в решении и без его выделения. [48]
Использование схемы Роу позволяет построить, так называемые, самоподстраивающиеся ( self-adjusting) подвижные сетки для решения задач газовой динамики в рамках методов сквозного счета. Такие сетки автоматически обнаруживают, выделяют, а затем начинают точно отслеживать тот или иной разрыв, возникающий в течении. При этом выделяемые разрывы совсем не обязаны первоначально существовать в течении, а могут появляться позже в процессе вычислений. В отличие от описанных выше методов выделения разрывов подвижной сеткой ( Годунов, Забродин, Прокопов, 1961; Годунов и др., 1976), самоподстраивающееся выделение разрывов производится полностью в рамках метода сквозного счета на подвижных сетках и основано на следующем свойстве метода Роу. [49]
Методы с выделением разрывов теоретически позволяют выделить все разрывы, хотя практически это осуществимо, вообще говоря, только в одномерном случае. Что касается двумерных и трехмерных задач, то выделение всех разрывов представляет из себя достаточно сложную задачу. Что касается областей между ними, то там вычисления могут быть проведены разностными методами сквозного счета. Некоторые результаты применения методов с выделением разрывов будут описаны далее в гл. [50]
 |
Одномерный пример газодинамического выделения разрывов. [51] |
Годунова ( 1957, 1959) принципиально отличен от описанных выше методик выделения и улавливания разрывов. В этом подходе поверхность разрыва так же состоит из границ дискретных ячеек, а скорость движения разрыва определяется по значениям газодинамических величин в ячейках по обеим его сторонам. Для определения потока F через разрыв, а также скорости его движения, в этом подходе используются граничные условия, которые зависят от типа выделяемой поверхности. Однако в отличии от описанных выше традиционных методов выделения разрывов, метод Годунова с выделением разрывов основан на точном решении задачи о распаде произвольного разрыва. [52]
Годунова ( 1957, 1959) принципиально отличен от описанных выше методик выделения и улавливания разрывов. В этом подходе поверхность разрыва так же состоит из границ дискретных ячеек, а скорость движения разрыва определяется по значениям газодинамических величин в ячейках по обеим его сторонам. Для определения потока F через разрыв, а также скорости его движения, в этом подходе используются граничные условия, которые зависят от типа выделяемой поверхности. Однако в отличии от описанных выше традиционных методов выделения разрывов, метод Годунова с выделением разрывов основан на точном решении задачи о распаде произвольного разрыва. [53]
Основываются они либо на методе характеристик [1] с алгоритмическим внесением специальных процедур, например выделение плавающих разрывов [6], либо на решении задачи о распаде разрыва [2] с последующим использованием подвижных сеток. Применение подобных подходов в нелинейной динамике деформируемых твердых тел проблематично из-за взаимозависимости в них, по существу, двух процессов распространения граничных возмущений: изменение объемных деформаций и деформаций изменения формы. Следует, однако, заметить, что из-за наличия в деформируемых телах более значимого диссипативного механизма ( пластичность, ползучесть), проблема выделения фронтов разрывов в твердых деформируемых средах не стоит столь остро, как в газовой динамике. Иначе, использование здесь разных вычислительных методик, основанных на процедурах сквозного счета, гораздо более оправдано. И все лее существуют ситуации в динамике деформируемых твердых тел, когда нестационарность явления столь существенна ( отражение и взаимодействие ударных волн при высокоскоростном соударении и др.), что выделение нелинейных разрывов может стать необходимым. [54]
Книга разделена на семь глав. Для удобства читателя в главе 1 вводятся основные определения и понятия теории гиперболических систем уравнений, которые позволяют читать весь последующий материал без обращения к другой специальной литературе. Даются примеры из разных областей механики сплошной среды, иллюстрирующие существо проблем, которые будут рассматриваться в последующих главах. Обсуждаются свойства классических и обобщенных решений гиперболических систем. В главе 2 формулируются основные подходы к численному решению квазилинейных систем уравнений гиперболического типа, записанных в форме законов сохранения и в неконсервативном виде. Рассматриваемые методы разделены на два класса: методы с выделением разрывов и методы сквозного счета. Римана о распаде произвольного разрыва. Так как точные решения этой задачи для некоторых типов уравнений отсутствуют, рассматриваются также схемы, основанные на приближенных решениях или решениях линеаризованной системы. Формулируется понятие эволюционных граничных условий и описываются характеристически согласованные подходы к их реализации. В частности, рассмотрены некоторые типы неотражающих граничных условий. Глава 3 посвящена уравнениям газовой динамики идеального газа. Представлено точное решение задачи Римана для газов, описываемых двучленным уравнением состояния, которое затем используется для аппроксимации уравнений состояния общего вида. Подробно описаны численные методы Годунова, Куранта-Изаксона - Риса ( КИР), Роу и Ошера, причем особое внимание уделяется рассмотрению течений несовершенных газов. Кроме этого, обсуждаются основные элементы различных разновидностей метода с выделением разрывов, включая использование самоподстраивающихся сеток. Даны примеры использования описанных методов к сложным пространственным задачам, среди которых нестационарные течения химически реагирующего воздуха около затупленных тел под большими углами атаки; явления, вызванные распространением ударных волн в веществе; струеподобные структуры в лазерной плазме и др. В отдельных разделах глав 3 и 5 обсуждается применение численных методов высокого разрешения для решения стационарных и нестационарных задач взаимодействия звездного ( солнечного) ветра со сверхзвуковым потоком межзвездной среды. В главах 3 и 4 описано также применение методов высокого разрешения к расчету стационарных сверхзвуковых течений газа и сверхкритических течений мелкой воды. [55]
 |
Схематическая картина сверхзвукового взаимодействия звездного ветра с межзвездной средой. [56] |
Очень важной чертой этого подхода является применение континуальных газодинамических уравнений Эйлера только к заряженным частицам обоих сталкивающихся ветров. Хотя предполагается, что присутствие турбулентных пульсаций в плазме слабо влияет на среднюю картину течения, их влияние сказывается через сильное изменение коэффициентов переноса из-за возможности рассеяния заряженных частиц на электромагнитных флуктуациях плазмы. Это приводит к существенному уменьшению длины их свободного пробега по сравнению с рассчитанным на основе кулоновских столкновений. Плазма солнечного ветра состоит, в основном, из электронов и протонов с числовой концентрацией пе - 10 см-3 и скоростью Ve - 400 - 500 км / с и также является сверхзвуковой. Такая модель естественно появляется, если смотреть на решение задачи как на результат распада произвольного газодинамического разрыва между параметрами солнечного ветра и межзвездной среды. Картина течения в этом случае, по существу, является комбинацией течения в сверхзвуковой струе и течения, образующегося при сверхзвуковом обтекании затупленного тела. Оба этих течения хорошо изучены в классической газовой динамике ( Черный, 1959; Пирумов, 1988; Авдуев-скийидр. Baranov, Lebedev, Ruderman ( 1979) и Зайцев, Радвогин ( 1990) рассмотрели осесимметричные задачи взаимодействия с использованием метода с выделением разрывов. [57]
Страницы: 1 2 3 4