Cтраница 3
Функция последования дифференцируема ( по теореме о дифферен-цируемости решения по начальным условиям) и обладает свойством периодичности А ( у 2тг) - А ( у) 2тг; обратное отображение А - г также дифференцируемо. Таким образом, А определяет диффеоморфизм окружности на себя. Можно представлять себе функцию последования как диффеоморфизм меридиана тора в себя, переводящий каждую точку меридиана в следующую точку пересечения интегральной кривой, проходящей через эту точку, с тем же меридианом. [31]
Изучение свойств интегральных кривых на торе сводится, таким образом, к изучению свойств диффеоморфизмов окружности. Например, предположим, что диффеоморфизм окружности имеет неподвижную точку. Тогда на торе имеется замкнутая интегральная кривая. Для того чтобы интегральная кривая, проходящая через данную точку меридиана тора, была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была периодической точкой диффеоморфизма, т.е. чтобы она переходила в себя после нескольких применений диффеоморфизма. [32]
Иммерсия окружности в трехмерное проективное пространство называется самодвойственной, если двойственная иммерсия отображает окружность в двойственное проективное пространство на образ, проективно эквивалентный образу исходной иммерсии. Таким образом, самодвойственность определяет диффеоморфизм отображаемой окружности на себя. Случай, когда этот диффеоморфизм ( или его степень) - тождественное отображение, заслуживает специального исследования. [33]
Если же в определении вместо всевозможных диффеоморфизмов окружности ограничиться дробно-линейными, то мы получим единичный круг А в С. Группа диффеоморфизмов окружности играет для S ту же роль, что и группа дробно-линейных автоморфизмов для круга А. В частности, S обладает инвариантной метрикой, аналогичной метрике Пуанкаре в круге А. Что удивительно, инвариантная метрика на S также обладает конечной кривизной Риччи. [34]
Более точно, прямые результаты о диффеоморфизмах окружности приводят к соответствующим результатам для ростков голоморфизмов. [35]
Кроме того, есть вопрос о слабом замыкании. Для произвольного значения параметра 5 мы берем группу диффеоморфизмов окружности и слабо замыкаем в этом представлении. В одной точке получается очень красиво; что получается в других точках - неизвестно. [36]
Эта глава посвящена дифференциальным уравнениям на сфере, а также уравнениям на торе, допускающим преобразование монодромии. Основное внимание уделено структурной устойчивости этих уравнений и теории диффеоморфизмов окружности. [37]
Алгебраическим соответствием алгебраической кривой с собой называется алгебраическая кривая в декартовом произведении исходной кривой на себя. Предположим, что в вещественной области соответствие представляет собой график диффеоморфизма окружности. Верно ли, что число изолированных циклов этого диффеоморфизма оценивается сверху константой, зависящей только от перечисленных дискретных инвариантов. [38]
Кривая 7 определяет весовую хордовую диаграмму D7 неупорядоченных пар точек окружности S1, являющихся прообразами нетривиальных связанных пар точек уплощения, и снабженных весами этих пар. Две такие диаграммы называются эквивалентными, если одна переводится в другую диффеоморфизмом окружности S1, сохраняющим ориентацию. [39]
Йоккоза о диффеоморфизмах окружности следует теорема Зигеля - Брюно. Контрпримеры, построенные для ростков голоморфизмов, приводят к аналогичным примерам для диффеоморфизмов окружности. Пример: если / нелинеаризуемо и не имеет периодических орбит, отличных от 0, то и д таково. Мы видим, что локальные проблемы для диффеоморфизмов окружности эквивалентны аналогичным проблемам для ростков голоморфизмов. [40]
Понятно, что группа вращений - это совсем маленькая вещь по сравнению с самой группой Diff. Поэтому чуть-чуть пошевелив конструкцию, Т можно убрать и получить меры на группе диффеоморфизмов окружности, инвариантные с одной стороны относительно диффеоморфизмов окружности. В том виде, как я это сказал, это утверждение производит впечатление самопротиворечивого, потому что есть теорема, которая это запрещает. [41]
Сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности структурно устойчив если и только если число вращения рационально и все циклы невырождены. Структурно устойчивые диффеоморфизмы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве С2 всех дважды дифференцируемых сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности. [42]
Определим соответствие, переставляя две точки пересечения. Произведение двух таких меняющих ориентацию соответствий ( второе, например, меняет знак у или знак х) определяет диффеоморфизм окружности на себя, сохраняющий ориентацию. Ограничено ли число циклов ( периодических траекторий) этого диффеоморфизма не зависящей от а постоянной. [43]
Понятно, что группа вращений - это совсем маленькая вещь по сравнению с самой группой Diff. Поэтому чуть-чуть пошевелив конструкцию, Т можно убрать и получить меры на группе диффеоморфизмов окружности, инвариантные с одной стороны относительно диффеоморфизмов окружности. В том виде, как я это сказал, это утверждение производит впечатление самопротиворечивого, потому что есть теорема, которая это запрещает. [44]
Идея рассматривать неориентированные замкнутые кривые восходит к самому началу развития теории замкнутых геодезических, ср. Однако при этом более старом подходе отождествляются параметризованные замкнутые кривые, которые переходят друг в друга под действием намного более обширной группы, например группы диффеоморфизмов окружности S. Это дает нам возможность пользоваться результатами теории, описывающей действие окружности на гильбертовом многообразии. [45]