Cтраница 4
Если же в определении вместо всевозможных диффеоморфизмов окружности ограничиться дробно-линейными, то мы получим единичный круг А в С. Группа диффеоморфизмов окружности играет для S ту же роль, что и группа дробно-линейных автоморфизмов для круга А. В частности, S обладает инвариантной метрикой, аналогичной метрике Пуанкаре в круге А. Что удивительно, инвариантная метрика на S также обладает конечной кривизной Риччи. [46]
Если / не имеет неподвижных точек, то у ( я) 0 для всех jc Sl. Поэтому у переводится диффеоморфизмом окружности в векторное поле, инвариантное относительно поворотов, а / сопряжен повороту в группе Diff M. В то же время, легко построить диффеоморфизмы окружности, сколь угодно близкие к тождественному диффеоморфизму, но не сопряженные поворотам. [47]
В [ РМ1 ] построены также нелинеаризуемые диффеоморфизмы окружности без периодических орбит. Диофантово условие на число вращения, для которбго возможны такие примеры, довольно искусственно. Тем не менее оказывается, что можно получать такие диффеоморфизмы окружности, отправляясь от ростков голомор-физмов. [48]
Йоккоза о диффеоморфизмах окружности следует теорема Зигеля - Брюно. Контрпримеры, построенные для ростков голоморфизмов, приводят к аналогичным примерам для диффеоморфизмов окружности. Пример: если / нелинеаризуемо и не имеет периодических орбит, отличных от 0, то и д таково. Мы видим, что локальные проблемы для диффеоморфизмов окружности эквивалентны аналогичным проблемам для ростков голоморфизмов. [49]
Этот вариант имеет то преимущество, что 0 an 1 / 2, а это облегчает геометрические конструкции. Если при обычном определении О an 1 / 2, то два разложения в непрерывные дроби совпадают. Для облегчения изложения мы рассматриваем далее только обычное разложение. Разница имеет значение только при формулировке арифметических условий для диффеоморфизмов окружности ( где нужно брать модифицированные an) и при определении явных значений констант в формулировках теорем о диффеоморфизмах окружности. [50]
Теперь еще одно замечание, хотя и не очень содержательное. Рассмотрим поверхность уровня интеграла Is в пространстве непрерывных функций. Эта поверхность легко идентифицируется с однородным пространством Diff / T, где Т - группа вращений. Соответственно, на таких пространствах мы получаем меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов окружности. [51]