Cтраница 1
Выпуклость множества П позволяет утверждать, что из точки х № по направлению pW можно пройти не дальше, чем до первого пересечения границы множества П: если а - длина соответствующего шага, то при любом а а точка xft - - apW будет недопустимой. [1]
Выпуклость множества У позволяет сформулировать более простые и содержательные условия оптимальности, чем условия, приведенные в предыдущем параграфе. [2]
Выпуклость множества D очевидна. [3]
Выпуклость множества Ci C2 доказана. [4]
Выпуклость множества X означает, что из х, у X следует г а. Например, в Е2 выпуклы отрезок, полупрямая, прямая, круг, треугольник, полуплоскость и вся плоскость. [5]
Проверка выпуклости множеств Г2, непрерывности операций сложения и умножения на скаляр, а также замкнутости точек в ( L ( JE /) 7 -) есть простое техническое упражнение. В силу теоремы 1.12 Главы 1 [3] получаем, что пространство ( L ( E T) является локально выпуклым хаусдорфовым пространством. [6]
Доказательство выпуклости множества В аналогично. [7]
Условие выпуклости множества Q представляется чрезмерно жестким. По сути дела, нужна не выпуклость Q, а какой-либо аналог выпуклости для йр. Множество S s Em называется А-выпук-лым, если множество 5 Л выпукло. [8]
Отсюда вытекает выпуклость множества Xt. Теперь остается применить теорему 2.1 о том, что пересечение выпуклых множеств выпукло. [9]
В силу выпуклости множества А получаем / еЛ, что и требовалось доказать. [10]
Снять требование выпуклости множества Л удается при использовании, так называемой модифицированной функции Лагранжа, к рассмотрению которой мы обратимся в конце этого раздела. Второе замечание связано с выполнением некоторой процедуры минимизации функции Ф ( х, Kh) на шаге 2 алгоритма метода множителей. Применяемые для этой цели алгоритмы носят, как правило, локальный характер. [11]
В случае выпуклости множества X х: / г ( х) 0, г 1 т условия линейной независимости векторов / г ( х), соответствующих активным ограничениям, в предыдущей теореме можно заменить более просто проверяемым, а именно так называемым условием регулярности. Существуют различные условия регулярности ограничений; здесь будут рассмотрены следующие условия. [12]
Теперь доказательство выпуклости множества X делается простым. [13]
Показать, что выпуклость множества Е можно заменить более слабым условием, но что какое-то условие все-таки требуется. Например, если л - 2, а множество Е имеет форму подковы, то утверждение может и не быть верным. [14]
Замечание 7.2. Предположение выпуклости множеств К ( а е А) в теореме Хелли также не лишнее. [15]