Cтраница 3
Поскольку уравнение состояния (3.2) очень редко бывает линейным и по г, и по Ь, выпуклость множества ограничений, а следовательно, и всей задачи имеет место в исключительных случаях. По этой причине не обсуждаются глобальные результаты, основанные на свойстве выпуклости. Однако в том случае, когда уравнение (3.2) линейно, с использованием теорем 2.5 и 2.6 могут быть получены глобальные результаты. [31]
При исследовании экстремальных задач в бесконечномерных пространствах большую роль играют такие понятия, как градиент функционала, выпуклость множеств и функционалов и др. Эти понятия естественным образом обобщают соответствующие понятия, которыми мы пользовались в гл. [32]
Доказать, что это условие выражает, вместе с условием выбора положительного направления на оси у-в, выпуклость множества точек, заключенных между дугой АВ и хордой АВ. [33]
Отметим, что утверждение леммы 3 остается справедливым при более общих предположениях, например, когда условие выпуклости множества М заменено условием связности. Для дальнейшего, однако, достаточно сформулированного утверждения. [34]
Существуют и другие обобщения принципа Шаудера, в том числе на многозначные отображения, однако во всех случаях необходимо предполагать выпуклость множества С, без чего теорема Шаудера и ее обобщения становятся неверными. Возможно комбинирование принципа Ша-удера и принципа сжимающих отображений. Пусть оператор F, преобразующий ограниченное замкнутое выпуклое множество С банахова пространства X в себя, можно представить в виде FjF1 F. [35]
Из условий г / g / eK, шег ( л:): 0, ] ауег ( д:) 1 и из выпуклости множества К следует, что fs ( х) е К. [36]
Когда s пробегает значения 0: s: 1, точка z ( s) пробегает отрезок, соединяющий точки х и у, и, ввиду выпуклости множества Д, все время остается в нем. [37]
Среди топологических работ тридцатых годов следует назвать и работу Андрея Николаевича О нормируемости общего линейного топологического пространства [ Б: - 46 ], в которой, в частности, впервые даются определение топологического линейного пространства, определение ограниченности и выпуклости множеств в таком пространстве, а также необходимое и достаточное условие нормируемости топологического линейного пространства. [38]
Здесь подразумевается, что PR-единственная экстремальная дуга, расположенная в малом шаре с центром в точке Р, а кривая у достаточно мала, чтобы обеспечить эту единственность. Из геодезической выпуклости множества G следует, что для достаточно близких точек Р, R из G экстремаль PR лежит в G. Таким образом, если кривая у достаточно мала, то для каждого и кривые уц лежат в G и дают искомую гомотопию. [39]
При этом выпуклость множества X гарантирует, что направление pk - х /, будет возможным. [40]
Здесь через D обозначено допустимое множество. Заметим, что выпуклость множества D можно гарантировать, если все функции g - выпуклые. [41]
Первое касается принятого здесь предположения о выпуклости множества А. [42]
Доказанная теорема по сути является теоремой о неподвижной точке. В отличие от принципа Шаудера здесь не требуется выпуклость множества М, кроме того указанное инвариантное множество - аттрактор, обладает свойством устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Существенным является характер поведения движений в окрестности границы множества М - требование существования оболочки, которую покидают за конечное время все начинающиеся в ней движения. [43]
Из включения х, y pi ( C) conVdpi ( M) следует теперь, что 2 econv pi ( Af) c: C, а потому и 2 С. Таким образом, ( a, b) c сС, чем и доказана d - выпуклость множества С. [44]
Как известно, условия первого порядка показывают точки экстремума, а для нахождения собственно точки максимума требуется найти условия второго порядка. Для того чтобы условия второго порядка действительно показали точку максимума, соответствующую ( 3), требуется предположить вогнутость функции полезности ( 1) и выпуклость множества производственных возможностей. [45]