Cтраница 2
Действительно, по определению выпуклость множества С равносильна тому, что С содержит выпуклую комбинацию любых двух своих элементов. Далее рассуждаем по индукции. Пусть С содержит выпуклые комбинации любых т - 1, т 1 своих элементов. [16]
В самом деле, выпуклость множества Р была уже установлена ( стр. Докажем, что Р есть конус с вершиной Q. [17]
На рис. 9.16 дефицит выпуклости множества S показан в виде заштрихованной области. Очевидно, что любое множество полностью определяется его выпуклой оболочкой и дефицитом выпуклости. Причина, по которой мы рассматриваем эти множества в описаниях объектов, заключается в том, что они часто позволяют разделить естественным образом сложный объект на несколько менее сложных частей. Например, если читатель поставит задачу описать на английском языке множество S на рис. 9.16, он мо - 9.16. Дефицит выпуклости объекта. [18]
Тогда ( в силу линейной выпуклости множества Мх) существует такая гиперплоскость L, что множество Мк содержится в одном из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью L, а точка b этому полупространству не принадлежит. [19]
Используя теорему 1.5, а также выпуклость множеств dfi ( x ], нетрудно показать ( ср. [20]
Существование, замкнутость, ограниченность и выпуклость множества субградиентов штрафных функций в эквивалентной задаче, полученных из функций принадлежности определенного класса, позволяют построить многообразные вычислительные схемы спуска. При этом используются различные варианты субградиентов в виде линейных комбинаций некоторых заранее известных субградиентов, включая обычные градиенты функций принадлежности и штрафных функций. [21]
Из выпуклости f ( x) следует выпуклость множества Ес, а из полунепрерывности снизу f ( x) согласно лемме 8.1 следует замкнутость множества Ес. [22]
Требуемые для применения изложенной выше теории предположения о выпуклости множества Р, вогнутости функции / и выпуклости функции д также допускают естественную экономическую трактовку. [23]
Для завершения доказательства теоремы остается доказать замкнутость и выпуклость множества G. Доказательство этих фактов приведено в разделе Д7 дополнений. [24]
Здесь существенна именно выпуклость функции /, а не выпуклость множеств уровня. [25]
Обоснованное применение метода множителей Лагранжа возможно лишь при условии выпуклости множества Л, выполнения которого, в общем случае, трудно ожидать и проверка которого при решении реальных задач практически неосуществима. [26]
А е N, В е N, то в силу выпуклости множества N весь отрезок [ А, В ] принадлежит множеству N и, следовательно, С N. А, В ] аР, и потому множество Р выпукло. [27]
Тогда С е [ Л, В ], и потому в силу выпуклости множества М точка С принадлежит этому множеству. [28]
Равенство ХА цА ( Л / /) А имеет место в силу выпуклости множества А. [29]
Поскольку уравнение состояния (2.2) очень редко бывает линейным и по z, и по Ь, выпуклость множества ограничений, а следовательно, и всей задачи имеет место в исключительных случаях. По этой причине не обсуждаются глобальные результаты, основанные на свойстве выпуклости. [30]