Cтраница 3
Рассмотрим сначала случай, когда (5.45) на самом деле является каноническим преобразованием, так что проекции Л на Т ( X) и Т ( У) - локальные диффеоморфизмы. [31]
Если все собственные числа голоморфного диффеоморфизма в неподвижной точке по модулю меньше единицы ( или если все больше) и резонансы отсутствуют, то отображение превращается в свою линейную часть биголоморфным локальным диффеоморфизмом в окрестности неподвижной точки. [32]
Точка поверхности F - 0 называется особой для уравнения ( 1), если проектирование ( ж, у, р) i - ( ж, у) поверхности на плоскость в окрестности этой точки не является локальным диффеоморфизмом поверхности на плоскость. [33]
Тогда всякий локальный диффеоморфизм В: ( R71, О) - ( Ж71, О ] с линейной частью А в неподвижной точке О топологически эквивалентен А в достаточно малой окрестности точки О. [34]
Для любой точки х G М найдется такое г 0, что открытый шар В В ( х, г) в М является нормальной шаровой окрестностью точки х, т.е. диффеоморфным образом шара радиуса г в ТХМ при отображении ехрл. Поскольку ехрр - локальный диффеоморфизм, то точки у /, даже если их бесконечно много, лежат в ТрМ дискретно, поэтому их число не более чем счетно. [35]
Теперь ясно, что отображение гр: Е0 х R - М по тому же правилу V 0 П УР ( О является диффеоморфизмом. Действительно, nf, как и jia e, есть локальный диффеоморфизм. Далее, интегральные кривые ур не могут пересекаться и, кроме того, не имеют самопересечений ( в частности, не могут быть замкнутыми), ибо вдоль у функция а строго монотонна. [36]
Доказательство этой теоремы о воротнике разбивается на несколько шагов. R является собственном - это просто переформулировка теоремы компактности 8.36. Затем устанавливается, что Ш - локальный диффеоморфизм. [37]
Следовательно, существуют такие окрестности Si и V точки е в S и Я соответственно, что v диффеоморфно отображает SiX на открытое подмножество группы G. Так как v ( s, М) - v ( s, Д) Л, то отображение v является локальным диффеоморфизмом всюду на SiX - Пусть S2 - такая окрестность точки е в Si, что Sz - lS2 ] Hc V. [38]
Например, Rm односвязно, a R2 0 неодно-связно, поскольку нельзя непрерывно стянуть единичную окружность в точку, не проходя через начало координат. Если М - произвольное многообразие, то существует односвязное накрывающее многообразие я: М - М, где накрывающее отображение я является отображением на и локальным диффеоморфизмом. [39]
Следовательно, существуют такие окрестности S2 и Он ( е) точки е в многообразиях Si и Я соответственно, что v диффсоморфно отображает S X H e) на открытое подмножество группы G. Так как v ( s, / г / г) v ( s, / г) / г, то отображение v является локальным диффеоморфизмом всюду на S2 X Я. Тогда v локально диффеоморфно и инъективно на S X Я, так что б1 удовлетворяет требованиям задачи. [40]
Получаем, что р-это двулистное накрытие. Это означает, что р является локальным диффеоморфизмом, у которого каждая точка в образе имеет ровно два прообраза. [41]
Тогда a ( p) limak ( p) для всех р из той окрестности точки р, где так определено преобразование а. Так как a ( p) limah ( p), то продолженное отображение а не зависит от выбора кривых. По построению очевидно, что а - локальный диффеоморфизм. [42]
С другой стороны, Гутьеррес и Фесслер доказали более общие теоремы, из которых вытекает следующее утверждение. Пусть отображение R2 - R2 всюду является локальным диффеоморфизмом, а его матрица Якоби не имеет положительных собственных значений вне некоторого компакта на плоскости. Тогда это отображение инъективно. [43]
Пусть Е есть w - мерпос многообразие, которое будет взято как модельное пространство. Обычно это евклидово пространство. Псевдогруппа преобразований па Е - это множество Г локальных диффеоморфизмов), удовлетворяющих следующим условиям. [44]
Точка возврата, которую имеет кривая х ] xl ( и все кривые, полученные из нее локальными диффеоморфизмами пространства R2 в окрестности точки 0), называется простой. Выполнив описанные ниже шаги, покажите, что не существует локального диффеоморфизма плоскости R2, переводящего простую точку возврата в клюв. [45]