Локальный диффеоморфизм

Cтраница 4

Типичные особые точки медленного уравнения на складке медленной поверхности. [46]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным ( над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [47]

Этот определитель Т ( ст, т) в точке CT ( Z) T ст ( г) не равен нулю. То есть определитель Т ( ст, т) в этой точке не равен нулю. Но определитель, для которого мы хотим доказать его неравенство нулю, совпадает со значением Т ( ст, т), поскольку / 2n - k - ( -) n - kfk - Итак, мы доказали, что отображение Sym ( RP2) - BLP2 является локальным диффеоморфизмом. [48]

Ростки подмногообразий, для которых это возможно, мы будем называть эквивалентными. Ограничение симплектической структуры объемлющего пространства на подмногообразие определяет на нем замкнутую 2-форму, возможно, вырожденную. У эквивалентных ростков эти вырождения одинаковы, другими словами - совпадают их внутренние геометрии. Если это требование выполнено, то существует локальный диффеоморфизм объемлющего пространства, переводящий друг в друга два ростка подмногообразий вместе с ограничениями на них симплектической структуры из объемлющего пространства, но не обязательно сохраняющий саму эту структуру. Таким образом, мы можем считать, что имеются один росток подмногообразия и две симплектические структуры в окрестности подмногообразия, совпадающие при ограничении на него. Два ростка подмногообразий евклидова пространства с одинаковой внутренней геометрией могут иметь разную внешнюю геометрию. [49]

Однако, прежде чем двигаться дальше, мы должны бегло упомянуть и о другой, более честной попытке разрешить множество проблем, связанных с появлением модулей. Как мы видели, семейство / / t / 2 ( tl - tt) ( / j - aj) дает несчетное число неэквивалентных типов особенностей ( хотя бы при О a 1 / 2; см. упр. Однако эта неэквивалентность - тонкая вещь; разница между различными типами почти не видна глазу. Возможно, правая эквивалентность - неправильная эквивалентность. Возможно, нам следует ослабить условие А - локальный диффеоморфизм в определении 11.1, заменив его условием Л - локальный гомеоморфизм. И действительно, можно ослабить наше определение правой эквивалентности и возвратиться в рай, из которого мы попали было в руки ( точнее, лапы) гигантской крысы с Суматры и ее еще более ужасных сородичей. На самом деле ослабить определение 11.1 так, как было предложено выше, нельзя: топологическая эквивалентность слишком слаба для того, чтобы с ее помощью можно было создать работоспособную теорию ( или хотя бы получать правильные ответы; см. упр. Вместо этого нужно работать с универсальной стратифицированной эквивалентностью, ио она для нас технически чересчур сложна, и мы не обсуждаем ее в этой книге. Если среди вас есть циники, они несомнеиио спросят, какую цену нужно платить за такое возвращение в рай, и определенную цену, конечно, приходится платить. Методы, используемые при построении такой теории, абсолютно бесполезны, когда речь заходит о явном предъявлении требуемых моделей. [50]

Страницы: 1 2 3 4