Cтраница 4
Эти функциональные уравнения неявно содержат рекуррентные формулы для определения коэффициентов, и анализ этих уравнений позволил Пойа найти асимптотические выражения для коэффициентов. В частности, получив рекуррентные формулы Кэли и Хенце - Блейра, Пойа изучил много задач, представляющих интерес для химиков, а также решил целый ряд других проблем, связанных с химией изомеров. Хотя в своей работе Пойа ограничился перечислением только таких деревьев и корневых деревьев, которые наиболее интересны для химии, ясно, что его методы допускают обобщение и на рассматриваемые нами случаи подсчета числа деревьев и корневых деревьев. Но не очевидно, что его методы анализа производящих функций могут быть обобщены для получения асимптотики соответствующих величин. [46]
Другие приложения аналогичных рассуждений встречаются у Клеммова [2], который рассматривает сведение двойного интеграла к одинарному и дает асимптотические выражения двойных интегралов более общего вида. [47]
При далеких столкновениях, когда скорость второй частицы остается малой по сравнению со скоростью света, можно легко показать, что асимптотические выражения (1.11) и (1.12) для Т и М справедливы также и в релятивистском случае. [48]
Так как точные выражения для поперечных сечений образования пар и соударений с излучением очень сложны, в теории ливней по необходимости используются асимптотические выражения для этих поперечных сечений, которые, строго говоря, справедливы только в области очень больших энергий. К счастью, энергетическое распределение электронов, находящихся в равновесии с мезонами, совершенно не зависит от абсолютной величины поперечного сечения образования пар и от его изменения с энергией фотонов; это изменение гораздо больше, чем изменение поперечного сечения соударений с излучением, которым по необходимости пренебрегается в расчетах. [49]
Таким образом, вообще говоря, не отражающие действительность формулы статистики Больцмана становятся истинными при выполнении условия (46.20), когда они превращаются в асимптотические выражения для формул статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака. [50]
Предположим, что выполняются следующие условия: плотность собственных частот достаточно высока; для частот % и форм колебаний ра ( х) могут быть взяты асимптотические выражения ( см. гл. IX); соа, фа ( х), са ( х) и спектральные плотности обобщенных сил могут быть представлены в виде функций волнового вектора k; перечисленные функции мало изменяются на расстояниях, сопоставимых с размером одной ячейки в пространстве волновых чисел. [51]
Решение уравнения (2.8) при произвольных значениях поля не найдено, поэтому далее в этом и в последующих параграфах будут рассмотрены предельные случаи слабых и сильных полей и найдены асимптотические выражения для моментов функции распределения, которые необходимы для вычисления вязкости суспензии в поле. [52]