Cтраница 1
Аксиомы порядка ( рефлексивность, антисимметричность, транзитивность) могут быть записаны формулами этой сигнатуры. [1]
Аксиомы порядка включают пять аксиом: 1) две точки А и В прямой разделяют остальные точки этой прямой на два класса; 2) существует по крайней мере одна пара точек С и D, принадлежащих к разным классам; 3) если АВ ч - CD, то и CD - s - АВ ( знак ч - обозначает разделение); 4) четыре точки прямой единственным способом разбиваются на разделяющие друг друга пары; 5) при любом проективном преобразовании разделяющие друг друга пары переходят также в разделяющие пары. [2]
Аксиомы порядка постулируют бесконечность точечного множества в пространстве. Действительно, если взять тетраэдр ( для него выполняются все аксиомы соединения), то по первой аксиоме порядка две вершины разделяют точки ребра на два класса. По второй аксиоме порядка на каждом ребре кроме двух вершин существует еще пара точек, принадлежащих разным классам. Использование четвертой аксиомы вместе с первой дает возможность вторичного применения второй аксиомы для образования новых пар. Этот процесс бесконечен, причем он выполняется не только на ребрах, но и на других прямых, проведенных через новые точки. [3]
Аксиомы порядка устанавливают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости. [4]
Аксиомы порядка устанавливают свойства взаимного расположения точек на прямой. [5]
Аксиомы порядка IIj, II2, Из тривиальным образом выполняются в силу соответствующих свойств неравенств для вещественных чисел. [6]
Система аксиом порядка, которой мы пользовались, отличается от системы аксиом порядка Гильберта, в основу которой положено отношение, выражаемое словами лежать между. Теорема 9, без утверждения единственности, является одной из аксиом порядка Гильберта. Она была введена еще Пашем и называется аксиомой Паша. [7]
Кроме этих аксиом порядка на прямой, вводится еще одна аксиома, определяющая отношение порядка на плоскости. [8]
Эти аксиомы называются линейными аксиомами порядка. Кроме них группа II содержит еще так называемую аксиому Паша Н4, которую мы сформулируем ниже. [9]
В расширенной области сохраняются аксиомы порядка 1.23 а - г. Обычные вещественные числа в отличие от символов - оо и оо называют конечными. [10]
Основные аксиомы принадлежности, аксиомы порядка и непрерывности недостаточны, чтобы построить проективную геометрию на плоскости в обычном смысле этого слова, так как они еще не определяют поведения прямых, и любое семейство г / 2 замкнутых ( самонепересекающихся) линий на плоскости, попарно пересекающихся в одной точке и соединяющих любые две точки плоскости, удовлетворяет такой аксиоматике. Чтобы выделить случай настоящих проективных прямых, нужно присоединить еще аксиому Дезарга, утверждающую, что если конфигурация Дезарга ( 103) осуществлена со всеми требуемыми ею инцидент-ностями, кроме, может быть, одной, то эта последняя инцидентность автоматически имеет место. [11]
Вторая группа аксиом - аксиомы порядка - имеет целью в отчетливой форме высказать те положения, на которые мы опираемся, когда говорим о том или ином порядке расположения точек на прямой и на плоскости. Главным понятием здесь является расположение на прямой одной точки между двумя другими. Логическое содержание этого понятия и устанавливается аксиомами этой группы. [12]
Группа II содержит четыре аксиомы порядка. [13]
С помощью других гильбертовых аксиом порядка можно доказать, что прямая а не может пересечь оба отрезка АС и ВС. [14]
Во-первых, необходимо вместо аксиом порядка Гильберта вводить систему аксиом, основанную на отношении следования для пар точек. Такая система, как известно, эквивалентна системе аксиом Гильберта, но отличается от нее простотой, близостью к привычным представлениям о расположении точек на прямой и позволяет двумя-тремя простыми следствиями, из нее вытекающими, подготовить вопрос о введении меры для отрезков и углов. [15]