Cтраница 2
Подчеркнем, что из одних аксиом порядка II, 1 - 4 еще не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако, привлекая еще аксиомы принадлежности I, 1 - 3, можно доказать следующее утверждение. [16]
Рассмотрим теперь аксиомы третьей группы - аксиомы порядка. [17]
По-видимому, аксиомы инцидентности I и аксиомы порядка II должны фигурировать во всякой разумной аксиоматике плоскости. Я прошу обратить внимание на аксиому инцидентности 1ь, которая утверждает, что через любую точку проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна. В постулате Евклида утверждается единственность параллельной; существование же ее может быть доказано с помощью других аксиом. Я полагаю, что объединение в одной аксиоме утверждений о существовании и единственности чрезвычайно упрощает построение геометрии и что, с другой стороны, очень немногие дети моложе 16 лет могут почувствовать доказательство существования, поскольку существование параллельных представляется им по крайней мере столь же экспериментально ясным, как и единственность. [18]
Доказательство упорядоченности проективного соответствия следует из аксиом порядка. [19]
Рассмотрим некоторые следствия аксиом связи и аксиом порядка. [20]
Таким образом, на аффинной плоскости выполняются все аксиомы порядка евклидовой геометрии. [21]
Так как на аффинной плоскости выполняются аксиомы связи и аксиомы порядка геометрии Евклида, то на ней имеют место и все следствия, вытекающие из этих аксиом. [22]
Как было указано выше, для точек прямых аффинной плоскости выполняются линейные аксиомы порядка евклидовой геометрии. Покажем, что плоская аксиома порядка тоже выполняется. [23]
Определим теперь отношение следования троек точек на прямой и проверим выполнимость аксиом порядка. [24]
Система аксиом порядка, которой мы пользовались, отличается от системы аксиом порядка Гильберта, в основу которой положено отношение, выражаемое словами лежать между. Теорема 9, без утверждения единственности, является одной из аксиом порядка Гильберта. Она была введена еще Пашем и называется аксиомой Паша. [25]
Система аксиом геометрии Римана в узком смысле состоит из аксиом связи, аксиом порядка и аксиомы непрерывности проективной геометрии и аксиом конгруэнтности евклидовой геометрии. [26]
Сформулированные три аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. [27]
Система аксиом, данная Гильбертом, состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Аксиомы этих пяти групп относятся к объектам трех родов - точкам, прямым, плоскостям и трем отношениям между ними, выражаемым словами принадлежит, между, конгруэнтен. Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. [28]
Проективная геометрия строится на системе аксиом, которая состоит из трех групп: аксиом связи, аксиом порядка и аксиомы непрерывности. [29]
Сформулированные три аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются л и - нейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. [30]