Cтраница 3
Аксиоматическое изложение евклидовой геометрии, содержащееся в настоящей главе, опирается на пять групп аксиом: аксиомы связи, аксиомы порядка аксиомы движения, аксиома непрерывности и аксиома параллельности. [31]
Тривиальным образом проверяется, что определяемое таким образом отношение порядка для точек разрезанной ( в точке А) прямой удовлетворяет всем линейным аксиомам порядка евклидовой геометрии. [32]
Как показано в § 2, если удалить из проективной прямой какую-нибудь точку, то для остальных точек прямой естественным образом устанавливается отношение следования для каждой пары точек, удовлетворяющее аксиомам порядка евклидовой геометрии. [33]
I явно выделены применяемые ниже аксиомы порядка и откладывания, определены отрезок, полупрямая, полуплоскость и полупространство и выведены некоторые их свойства. Автор надеется, что тем самым построен необходимый мост между школьным курсом геометрии и курсом аналитической геометрии. Кроме того, устранены некоторые недоговоренности школьного курса геометрии, вполне объяснимые тем, что О ни касаются аксиоматического материала, излагаемого в 6 - м классе. [34]
В § 16 были рассмотрены аксиомы соединения. Для построения проективной геометрии с бесконечным числом точек еще нужны аксиомы порядка и непрерывности. [35]
Это особенно целесообразно, если через отношение следования пар вводятся аксиомы порядка евклидовой геометрии, так как получается преемственность в этих системах аксиом. [36]
Система аксиом порядка, которой мы пользовались, отличается от системы аксиом порядка Гильберта, в основу которой положено отношение, выражаемое словами лежать между. Теорема 9, без утверждения единственности, является одной из аксиом порядка Гильберта. Она была введена еще Пашем и называется аксиомой Паша. [37]
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в XIX столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки. Паш в Лекциях по новой геометрии ( 1892) разработал главным образом аксиомы порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием между. [38]
Конфигурация содержит п элементов, и между ними отмечено единственное отношение, выражаемое термином А: предшествует у. Условия, или аксиомы, определяющие это отношение, являются рассмотренными выше аксиомами порядка. [39]
Назовем прямую 30 бесконечно удаленной, а ее точки - бесконечно удаленными. В множестве конечных точек прямой может быть введено отношение еле - дования пар точек так, что выполняются все аксиомы порядка евклидовой геометрии. [40]
Наиболее впечатляющее в системе аксиом Гильберта и многих последующих системах - это, пожалуй, их достаточная сложность. Большое количество аксиом, одни из которых столь тривиальны, что легко забываются при перечислении, а другие столь сложны ( особенно аксиомы порядка), что их с трудом удается запомнить. Все в целом настолько запутано, что работать с этой системой очень нелегко; невозможно сделать в этой системе какие-либо геометрические открытия, и лишь с большим трудом удается проводить доказательства. [41]
Аксиомы порядка постулируют бесконечность точечного множества в пространстве. Действительно, если взять тетраэдр ( для него выполняются все аксиомы соединения), то по первой аксиоме порядка две вершины разделяют точки ребра на два класса. По второй аксиоме порядка на каждом ребре кроме двух вершин существует еще пара точек, принадлежащих разным классам. Использование четвертой аксиомы вместе с первой дает возможность вторичного применения второй аксиомы для образования новых пар. Этот процесс бесконечен, причем он выполняется не только на ребрах, но и на других прямых, проведенных через новые точки. [42]
Определим следование троек прямых пучка через следование точек пересечения прямых пучка с какой-нибудь прямой, не проходящей через центр пучка. Это определение не зависит от выбора секущей прямой по аксиоме Из. Определив таким образом следование прямых в пучке, мы видим, что для прямых в пучке выполняются все аксиомы порядка. [43]
Наоборот, если применить это алгебраическое выражение для определения геометрических терминов, то каждое абстрактное поле приводит к соответствующей проективной плоскости, удовлетворяющей аксиоме инцидентности. Из аксиом инцидентности нельзя извлечь каких-либо ограничений на числовое поле, соответствующее проективной плоскости. Здесь в грандиозной форме проявляется предустановленная гармония между геометрией и алгеброй. Лишь аксиомы совершенно иного рода - аксиомы порядка и непрерывности - приводят к такой конкретизации, что геометрическая система чисел, соответствующая проективной плоскости, может быть отождествлена с континуумом обычных действительных чисел. Тем самым мы как бы обращаем подход, который в течение столетий господствовал над нашей математической наукой, зародившись, по-видимому в Индии и благодаря арабам проникнув на Запад. А именно, если раньше понятие числа предпосылалось геометрии как логически предшествующее, и мы поэтому, располагая систематически разработанным универсальным понятием числа, не зависящим от применений, могли подходить с ним к величинам самого различного рода, то теперь мы возвращаемся к точке зрения древних греков, согласно которой каждая область вещей влечет свою, на собственной основе определяемую числовую систему. И это происходит не только в геометрии, но и в новой, квантовой физике: физические величины, относящиеся к некоторой данной физической структуре сами по себе ( а не те числовые значения, которые они могут принимать при различных ее состояниях), допускают, согласно квантовой физике, сложение и некоммутативное умножение, тем самым образуя некоторый мир алгебраических величин, соответствующий этой структуре, мир, который нельзя рассматривать как фрагмент системы действительных чисел. [44]
Вначале представим свойство й Г - группы G обладать разрешимой нормальной системой на языке узкого исчисления предикатов. В качестве основного множества М модели мы берем, следуя методу Мальцева из статьи [2], множество индексов членов подходящей нормальной системы, а предикаты, определенные на этом множестве, - это отношение порядка и еще набор одноместных предикатов вида Ад ( а) по всем элементам g из G. Содержательно Ад ( а) означает, что элемент g принадлежит члену нормальной системы Н имеющему индекс а. Набор аксиом 9Z состоит из нескольких групп. Прежде всего это - аксиомы порядка, утверждающие, что М - упорядоченное множество, содержащее минимальный элемент а0 и максимальный элемент осг К этим аксиомам добавляем аксиому ( Voc) AQ ( a) ( 0 - нуль группы G) и группу аксиом - Л ( а0), Aff ( a1) по всем g из G, отличным от нуля. [45]