Cтраница 1
Другие аксиомы описывают свойства логических связок. Напротив, аксиома 5 говорит, как можно вывести конъюнкцию. [1]
Другая аксиома, о которой пойдет речь, пока сравнительно мало известна вые круга специалистов по теории множеств. Это предложенная Мычельским и Штейнга зом в 1962 г. аксиома детерминированности. Следствия этой аксиомы, как правило, противоречат следствиям аксиомы выбора, но обычно более согласованы с естественной интуицией множеств. Аксиома детерминированности позволила решить много и таких проблем, которые не поддаются решению с помощью аксиомы выбора. Например, она влечет отсутствие промежуточных мощностей между счетной мощностью и мощностью континуума, решая тем самым проблему континуума в том плане, как ее ставили Кантор и Гильберт. [2]
Другой аксиомой, логически эквивалентной аксиоме полной упорядоченности, является лемма Цорна. [3]
Имеются и другие аксиомы этого и иного типа. [4]
Поля характеристики р среди других аксиом содержат аксиому ( Vx) ( рж 0), а нулевая характеристика задается бесконечным числом аксиом - ( Vx) ( px Q) по всевозможным простым числам. Нужно показать, что 9Z - совместный набор формул. Тогда найдется такое простое число р, что это р не участвует в формулах из 970, но в некотором поле характеристики р все формулы набора 9W выполняются. Этим доказано, что 9 локально совместный, а следовательно, и совместный набор формул. [5]
Гипотеза континуума не зависит от других аксиом теории множеств. Вы можете добавить аксиому, утверждающую, что гипотеза континуума верна, и теория не станет от этого противоречивой ( если она была непротиворечивой с самого начала. [6]
Но если V постулат не зависит от других аксиом, то, допуская все другие аксиомы ( абсолютной геометрии), мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую евклидову геометрию, названную Лобачевским употребительной. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. Лобачевский и сформулировал новую аксиому параллельных, прямо противоположную аксиоме Евклида: Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере бее. Заменив этой аксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию, которая оказалась так же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида. [7]
Но если V постулат не зависит от других аксиом, то, допуская все другие аксиомы ( абсолютной геометрии), мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую евклидову геометрию, названную Лобачевским употребительной. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. Лобачевский и сформулировал новую аксиому параллельных, прямо противоположную аксиоме Евклида: Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере бее. Заменив этой аксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию, которая оказалась так же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида. [8]
Ясно, что если удастся привести такую интерпретацию, то независимость аксиомы 51 от других аксиом будет доказана, так как если бы 51 была выводима из них, то она имела бы значение а при всех значениях переменных. Заметим, что формулы, в которых вместо переменных подставлены некоторые их значения, также имеют смысл. [9]
Система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы. [10]
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из ее аксиом не может быть выведена как следствие из других аксиом этой же системы. Иначе говоря, требование независимости системы аксиом состоит в том, что если какая-нибудь из ее аксиом может быть доказана как следствие из других ее аксиом, то она должна быть исключена из списка аксиом этой системы. [11]
В теории потребительского спроса ( consumer demand theory) предполагается, что потребители подчиняются аксиомам рациональности ( rationality) и другим аксиомам поведения, которые в совокупности образуют поддающуюся проверке теорию поведения потребителей. [12]
В доказательстве Карно то обстоятельство, что при переходе от одной температуры к другой нельзя извлечь неограниченное количество тепла, следует из другой аксиомы: если все происходит при одной температуре, то тепло не может быть превращено в работу посредством циклического процесса. Поэтому первым делом попытаемся понять, хотя бы на одном элементарном примере, почему верно это более простое утверждение. [13]
Считалось, что аксиома о параллельных в том виде, в каком ее сформулировал Евклид, излишне сложна и ей недостает простоты других аксиом. Самого Евклида придуманный им вариант аксиомы о параллельных также не устраивал: недаром он обращался к этой аксиоме, лишь доказав все теоремы, какие только можно было доказать без нее. [14]
Другие аксиомы остаются без изменения. [15]