Cтраница 4
Даже в античную эпоху математики неоднократно пытались решить проблему, связанную с аксиомой о параллельных Евклида. Эти попытки были двух типов. Другие старались вывести аксиому Евклида из девяти других аксиом его геометрии. [46]
Сформулировав таким образом, мы ее уже наполовину решили, так как наибольшая трудность заключается в том, чтобы осознать возможность независимости этой аксиомы. Может оказаться, что она выводится из других аксиом, может оказаться, что не выво дится, но этим еще не исчерпываются все возможности. [47]
Внутренняя независимость бывает нужна ( об этом мы также раньше говорили) для того, чтобы в системе не было лишних аксиом. С вопросом независимости аксиом была связана хорошо известная история проблемы о пятом постулате Евклида, или аксиоме о параллельных. Лобачевский высказал мысль о невыводимости этого постулата из других аксиом геометрии и дал этому предположению убедительное обоснование. В его исследованиях уже заключались элементы метода интерпретации, и впоследствии невыводимость пятого постулата на этом пути и была окончательно установлена. Была построена такая система объектов, которая удовлетворяет всем аксиомам геометрии, кроме аксиомы о параллельных, и не удовлетворяет этой последней. Метод интерпретации, однако, приложим к вопросам непротиворечивости и независимости только в известных границах. Другие методы уже связаны с рассмотрением абстрактных логических систем. [48]
Геометрия древних, получившая свое завершение в Началах Евклида, в наименьшей степени затронула развитие дифференциальной геометрии. Один только вопрос, на протяжении многих веков казавшийся главнейшим, нашел простое и естественное разрешение в рамках дифференциальной геометрии. Формулировка пятого постулата Евклида казалась настолько далекой от самоочевидности и независимости от других аксиом геометрии, что на протяжении многих веков математики безуспешно пытались дать ему доказательство на основании других аксиом. [49]
Формализация геометрии должна быть осуществлена в рамках низшего функционального анализа. Если впоследствии окажется, что машина в состоянии доказать ту или иную аксиому исходя из других аксиом, соответствующая аксиома будет исключена из списка и мы сможем только приветствовать математическое изящество нашего автомата. [50]