Cтраница 3
Лишь в 70 - 80 - х годах прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейна и Пуанкаре более широким кругам математиков стало ясно, что V постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии. [31]
Поскольку евклидова геометрия потерпела провал, Эйнштейн мог обратиться к какой-нибудь другой, конкретной неевклидовой геометрии. Известны системы такого рода, разработанные Лобачевским ( 1829 г.), Больяи ( 1832 г.), Риманом ( 1854 г.), Гельмгольцем ( 1866 г.) и др.; эти системы были построены главным образом с целью выяснить, являются ли определенные аксиомы Евклида логически необходимыми следствиями других аксиом и не возникнет ли логических противоречий, если их заменить другими. [32]
Зная, что академик А. Н. Крылов известен студенчеству своими работами по математике и теоретической механике ( его курсы по приближенным вычислениям, уравнениям математической физики, небесной механике и теории гироскопа широко используются в вузовском преподавании), я считал важным довести до студентов точку зрения Крылова о стиле мышления математика и инженера. Геометру как бы нет дела до того, есть ли в природе такие предметы, к которым его образы относятся; для него важно, что он их создал в своем уме, приписал им определения, аксиомы и допущения, после чего он с полной логичностью и строгостью развивает следствия этих аксиом и допущений, не вводя при этом никаких других аксиом и никаких новых допущений - до остального ему дела нет. [33]
Прежде всего установим две основные аксиомы, к которым непосредственно будем присоединять дополнительные аксиомы. Другую аксиому необходимо связать с именем Ампера, поскольку он впервые сформулировал связь между током и магнитным полем. [34]
Мы рассмотрели содержание этого закона механики достаточно подробно и возвращаться здесь к нему не будем. Рассмотрим другие аксиомы о связях. [35]
Затем формулируются четыре аксиомы. Две аксиомы утверждают, что имеется множество классов защиты, которое линейно упорядочено. Две другие аксиомы утверждают, что агенты могут только наблюдать за теми хранилищами, которые имеют более высокий класс или равный классу защиты агентов. Из этой примитивной модели были последовательно получен ряд моделей для определения структуры словаря файлов, связей между процессами и других функций системы. [36]
Далее мы рассмотрим различные виды реализуемости в языке арифметики. Сам язык НА при этом следует модифицировать, чтобы избежать употребления функциональных символов. Соответственно несколько изменяются и другие аксиомы. [37]
Модели бывают полезны и для доказательства независимости. Чтобы доказать, что закон ассоциативности умножения в группе независим от других аксиом группы, надо лишь найти модель, в которой закон ассоциативности не выполняется, а все остальные аксиомы группы справедливы. Если бы закон ассоциативности выводился из других аксиом, то можно было бы доказать ассоциативность умножения в выбранной модели, но она выбиралась именно так, чтобы умножение не было ассоциативным. [38]
Автор этой книги придерживается иного мнения. Это утверждение само по себе следует считать аксиомой существования - такой же, как и многочисленные другие аксиомы теории множеств, а ее очевидность ничуть не меньше очевидности столь милой сердцу противников Цермело аксиомы индукции. Аксиома Цермело ни разу еще не приводила к противоречию, и ( как показал Серпинский) даже те, кто не приемлет аксиомы Цермело, нередко, сами того не ведая, пользуются ею. [39]
По-видимому, аксиомы инцидентности I и аксиомы порядка II должны фигурировать во всякой разумной аксиоматике плоскости. Я прошу обратить внимание на аксиому инцидентности 1ь, которая утверждает, что через любую точку проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна. В постулате Евклида утверждается единственность параллельной; существование же ее может быть доказано с помощью других аксиом. Я полагаю, что объединение в одной аксиоме утверждений о существовании и единственности чрезвычайно упрощает построение геометрии и что, с другой стороны, очень немногие дети моложе 16 лет могут почувствовать доказательство существования, поскольку существование параллельных представляется им по крайней мере столь же экспериментально ясным, как и единственность. [40]
Аксиома Евклида о параллельных ( V постулат в книге 1 Элементов) была призвана утверждать, что любая пара проведенных на плоскости прямых при достаточном их продолжении, взаимно пересекается, если сумма двух внутренних углов, образованных линией, пересекающей упомянутую пару, оказывалась меньшей, чем два прямых угла. Действительно, тот факт, что некоторые предложения Евклида, относящиеся главным образом к обращению вышеназванного постулата, оказалось возможным доказать без привлечения V постулата, внушила надежду на то, что и самый постулат можно вывести из других аксиом. [41]
В первом из них автор подробно занимается проблемой V постулата. Ибн ал - Хайсам начинает с разъяснения и обоснования понятия параллельных прямых. Исходя из евклидова определения их ( прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются), он утверждает, что сложность V постулата по сравнению с другими аксиомами состоит в самом понятии параллельности, непосредственно связанном с понятием бесконечность. С такой именно ограниченной, конечной частью пространства мы имеем всегда дело на практике. [42]
Но ведь точки 2 и / нами уже были получены, так что параллельный перенос S находится в нашем распоряжении. Конечно, это не вызывает с точки зрения наглядных представлений ни у кого никаких сомнений, однако в рамках нашей аксиоматики такой вывод нуждается еще в одной особой аксиоме, так называемой аксиоме взаимного расположения на плоскости. Суть этой аксиомы состоит в том, что прямая, входящая внутрь треугольника через одну его сторону, должна снова выйти из него через другую сторону145) - тривиальный факт нашей геометрической интуиции, который однако приходится особо отмечать только по причине логической независимости этой аксиомы от других аксиом. Путем совершенно аналогичных рассуждений, очевидно, можно получить точку, соответствующую каждому рациональному значению абсциссы х; из наших постулатов нетрудно заключить также, что такие рациональные точки имеются внутри всякого ( как угодно малого) отрезка оси абсцисс. [43]
Однако формальное построение теории множеств выходит за рамки нашего обсуждения. Поэтому мы ограничимся неформальным описанием ограничений, накладываемых во избежание противоречий: нельзя просто так рассмотреть множество всех множеств или множество всех множеств, не являющихся своими элементами, поскольку класс потенциальных претендентов слишком необозрим. Есть и другие аксиомы. [44]
Например, понятию между он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно. [45]