Cтраница 2
Аксиома 1 не - выполняется, так как Ааа Каа и Каа дает 0 при а / О. Другие аксиомы выполняются, что легко проверить с помощью 0 - / метода. [16]
Из леммы 3.1.5 следует, что обе пары ( V ( G) n) и ( V ( G) n) удовлетворяют аксиоме о независимых множествах для матроидов. Поскольку справедливость двух других аксиом очевидна, то обе пары ( V ( G) fti) и ( V ( G) ( i) являются матроидами. [17]
Она значительно сложнее других аксиом и по утверждаемому ею факту и по своей формулировке. Ведь даже для осознания ее смысла надо предварительно овладеть рядом сведений. [18]
До Цермело аксиома 8.5.1 широко использовалась в математических рассуждениях как самоочевидный факт, но будучи явно сформулирована, вызвала ожесточенную критику. Принципиальное отличие АВ от других аксиом заключается в разительном контрасте между ее естественностью и невероятностью следствий. [19]
Также добавляются обычные схемы аксиом и правила вывода для кванторов. Кроме того, иногда добавляют и другие аксиомы, описывающие действие модальных операторов на кванторы, напр. [20]
Утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой в пространстве, является уже теоремой. Ее справедливость вытекает как следствие из этой и других аксиом геометрии. [21]
В течение долгого времени считалось недостатком, что аксиома ( 6) выглядит не вполне очевидной. Было Предпринято множество попыток доказать ее, основываясь на других аксиомах, и все безрезультатно. [22]
А ведь многим из них казалось, что они уже почти нашли его, что он совсем близко, рядом. Сколько труда положили ученые на попытки вывести пятый постулат Евклида из других аксиом его геометрии, на решение задач о квадратуре круга или трисекции угла, пока не было доказано, что решения этих задач не существует. [23]
Модели бывают полезны и для доказательства независимости. Чтобы доказать, что закон ассоциативности умножения в группе независим от других аксиом группы, надо лишь найти модель, в которой закон ассоциативности не выполняется, а все остальные аксиомы группы справедливы. Если бы закон ассоциативности выводился из других аксиом, то можно было бы доказать ассоциативность умножения в выбранной модели, но она выбиралась именно так, чтобы умножение не было ассоциативным. [24]
Рассмотрим, например, вопрос о независимости первой из аксиом рассматриваемого нами формализма-а а. Вопрос этот ставится следующим образом: вьг-водимо ли равенство а а из других аксиом с по мощью правил вывода или нет. Если бы оказалось; что оно выводимо, то в системе аксиом 1 - 5 оно лишнее в том смысле, что класс выводимых равенств формализма не изменится, если мы его удалим. Доказать независимость этой аксиомы методом интерпретаций еще возможно, но уже гораздо более затруднительно. Значительно проще доказать ее независимость другим путем. Заметим, что во всех остальных аксиомах термы, соединенные знаком равенства, представляют собой конфигурации, никогда не сводящиеся к одному элементу. Иными словами, никакой из этих термов не состоит из одной буквы. [25]
Аксиома Лобачевского нам кажется на первый взгляд странной, так как противоречит нашим установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса мы должны признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть про верена с помощью непосредственного эксперимента, который-может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. [26]
Но кроме того положительная определенность позволяет задать некоторую норму в пространстве и, следовательно, некоторое расстояние, удовлетворяющее неравенству треугольника. Быть может, нам придется ввести в состав аксиом это неравенство, если окажется, что другие аксиомы недостаточно сильны, чтобы обеспечить его. [27]
Желательной, хотя и не необходимой, является также независимость отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не должно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиворечивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а им не противоречит. [28]
Знаменитая гипотеза континуума ( как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было до казано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову. [29]
В это время он стал рассматривать постулат Евклида как независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию, основанную на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую плоскости. [30]