Cтраница 2
Точно так же аксиоматизация арифметики не является предметом самой арифметики. По этому поводу уместно процитировать А. [16]
Так, при аксиоматизации геометрии обычно считается, что понятия точки, прямой и плоскости не следует априори отождествлять с какими-либо интуитивными представлениями - они являются лишь обозначениями объектов, относительно которых предполагается только выполнение свойств, выражаемых аксиомами. [17]
Завершая обсуждение проблемы аксиоматизации классической механики, заметим, что программу аксиоматизации физико-математических наук, сформулированную Гильбертом, как известно, в полной мере осуществить не удалось. [18]
В связи с приведенной аксиоматизацией стоит сделать еще два замечания. [19]
Заметим, что изложение любой формальной аксиоматизации классической механики в курсе механики неуместно, поскольку составляет фактически главу математической логики, а не собственно механики. [20]
Андрей Николаевич сумел использовать для аксиоматизации теории вероятности уже готовый мощный инструмент - так называемую теорию меры. Идея такого использования принадлежит не ему. [21]
Современная аксиоматизация механики, подобно аксиоматизации многочисленных других наук ( за исключением чисто математических дисциплин, таких, как алгебра, геометрия) не была вызвана внутренними потребностями науки. [22]
Существуют и многие другие подходы к аксиоматизации евклидовой геометрии, связанные с работами Пиери, В. Ф. Кагана, Биркгофа, Вейля и других математиков. [23]
Понятие топологического пространства можно рассматривать как аксиоматизацию понятия близости точки к множеству: точка близка к множеству, если она принадлежит его замыканию. В этой главе мы будем изучать теорию метрических пространств, которая является аксиоматизацией понятия близости точек: в метрическом пространстве каждой паре точек соответствует вещественное число - расстояние между ними, основные свойства которого описывает система аксиом. Расстояние между точками можно использовать для определения расстояния между точкой и множеством; считая все точки, расстояние которых до множества А равно нулю, близкими к множеству А и определяя замыкание множества А как множество всех таких точек, мы получаем топологическое пространство. Топологические пространства, которые могут быть получены таким образом, называются метризуемыми пространствами. [24]
Требование полноты не является совершенно неизбежным условием успешной аксиоматизации: неполные теории могут иметь успешные практические приложения. [25]
Наконец, если теория Т не допускает конечной аксиоматизации, то, в силу ( i), множество со N оказывается бесконечным. [26]
Эту систему, рассматриваемую вместе с ее конечной аксиоматизацией, называют иногда теорией множеств Бернайса - Геделя. Каждая из четырех названных выше аксиоматических теорий множеств, подобно теории чисел, обладает следующим свойством: если данная теория непротиворечива, то она неполна и никакое ее конечное расширение также не является полным. Этот факт следует из теоремы Геделя о неполноте. [27]
Практическая эффективность логического программирования зависит не только от удачной аксиоматизации задачи, но в еще большей мере от качества интерпретатора, реализующего поиск Доказательства. [28]
Продолжающаяся, как утверждают, уже более 50 лет аксиоматизация и алгебраизация математики привела к неудобочитаемости столь большого числа математических текстов, что стала реальностью всегда угрожающая математике угроза полной утраты контакта с физикой и естественными науками. [29]
Существуют и другие свойства, которые можно использовать для аксиоматизации теории информации [4.1], но здесь мы их рассматривать не будем. [30]