Cтраница 4
Понятия равномерного пространства и пространства близости можно рассматривать с двух позиций - либо как аксиоматизации некоторых геометрических объектов, близкие к понятию топологического пространства, хотя и совершенно независимые от него, либо как удобные средства изучения топологических пространств. Вейль впервые ввел равномерности, они рассматривались именно как такое средство, пригодное в отличие от метрик для изучения топологических пространств без каких-либо предположений о счетности. Близости также могут быть использованы для изучения топологий; они особенно эффективны при исследовании компактнфикаций. Бурбаки, весьма подробно излагающий в своей книге теорию равномерных пространств, подчеркивает ее независимый характер, хотя она и очень тесно связана с теорией топологических пространств. Связь между этими двумя теориями основана на том, что равномерным пространствам и равномерно непрерывным функциям ставятся в соответствие ( неким стандартным образом) топологические пространства и непрерывные отображения. Этот переход от равномерных пространств к топологическим разбивается на два этапа; промежуточное положение занимают пространства близости. [46]
Наш подход будет состоять в том, что в качестве первого шага предусматривается некоторая аксиоматизация теории множеств, позволяющая затем уже определять интересующие нас теории посредством теоретико-множественных предикатов. Мы не будем здесь излагать никакой определенной аксиоматизации теории множеств1; мы только заверим читателя, что такую аксиоматизацию можно провести, и притом так, что 1) всех нежелательных ситуаций ( например, парадокса Рассела) удается, по всей видимости, избежать2 и 2) все желательные ситуации, совместимые с выполнением условия 1), сохраняются. Итак, будем исходить из того, что мы уже располагаем такой неформальной теорией множеств. Первичные термины большинства математических теорий представляют собой некоторое множество X и определенным образом связанные с X константы. [47]
Исходя из представленных результатов, Ландсберг [68] предлагает рассматривать работу Каратеодори не как попытку аксиоматизации термодинамики, а лишь как вклад в разграничение простых форм механических и термодинамических систем в терминах топологических свойств фазового пространства. [48]