Cтраница 4
Геометрия в стиле Евклида ( а до недавнего времени только с ней и сталкивалось большинство людей) не одобряет обращения к картинкам и пользуется вместо этого высокопарными рассуждениями по существу алгебраического характера, основанными на понятии конгруэнтности треугольников. В итоге все геометрические идеи сводятся к свойствам треугольников. [46]
Геометрия входит в царство механики в связи с инертными свойствами массы. Эти свойства отражены в левой части уравнения Ньютона в форме массы, умноженной на ускорение или скорости изменения импульса. Аналитическая механика показала, что в действительности фундаментальной величиной, характеризующей инерцию массы, является не импульс, а кинетическая энергия. [47]
Геометрия означает измерение Земли, и, хотя люди довольно быстро научились абстрагироваться от задач, с которыми они сталкивались на измеряемой Земле, прошло две с половиной тысячи лет, прежде чем геометры вновь занялись измерениями. [48]
Геометрия предоставляет возможность делать открытия - мы увидим это на примерах. Конечно, можно исследовать и царство чисел, можно учиться думать в процессе счета, но открытия, которые делаются глазами и руками, более убедительны и более неожиданны. Фигуры в пространстве являются, пока в них нуждаются, незаменимым средством, чтобы вести исследования и делать открытия. [49]
Геометрия, которую можно изучать в школе с помощью линейной алгебры, является лишь отработанным паром. Ее высшим пунктом было бы доказательство того, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Может быть, с ее помощью можно еще дать безвкусное доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Единственной областью, где применение методов линейной алгебры осмысленно, является учение о центрах тяжести и выпуклых телах, но и эти области остаются без внимания, поскольку они не укладываются в какую-либо систему математики. [50]
Геометрия также не стояла на месте и со времен Евклида ушла далеко вперед. [51]
Геометрия изучает свойства, общие для всех равных фигур. Мы не исследуем, например, по отдельности треугольники со сторонами 3, 4 и 5, начерченные на разных листах бумаги. Понятие равенства фигур является, таким образом, одним из основных геометрических понятий. [52]