Гиперболическая геометрия

Cтраница 2

Отображение гиперболической плоскости на евклидовом ( бельтрамиевом) круге выполнено совершенно безукоризненно; двумерная гиперболическая геометрия осуществляется здесь полностью. Совершенно аналогично выполняется отображение гиперболического пространства внутри евклидовой сферы. Всякое противоречие в гиперболической геометрии, если бы оно обнаружилось, означало бы, что аналогичное противоречие имеется и в геометрии Евклида, Поэтому гиперболическая геометрия логически столь же правильна, столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. [16]

На основной или абсолютный круг в описанной здесь схеме можно смотреть, как на интерпретацию гиперболической геометрии, полностью ее осуществляющую. [17]

Эта идея Клейна позволила ему объединить, охватить единым подходом многие различные геометрии: евклидову, аффинную, проективную, гиперболическую геометрию Лобачевского, эллиптическую геометрию Римана и ряд других. [18]

Бельтрами и Клейна, или с - точки зрения Римана - мы во всяком случае получаем безукоризненную интерпретацию двумерной гиперболической геометрии. Совершенно ясно, чта таким же образом трехмерное гиперболическое лространство с его геометрией может быть отображено на шаре; мы получаем таким путем безукоризненную интерпретацию трехмерной геометрии Лобачевского. [19]

Перед описанием указанных восьми геометрий заметим, что среди них наиболее интересной, наиболее сложной и наиболее часто встречающейся является гиперболическая геометрия. Другие семь играют роль исключительных геометрий-как в двумерном случае евклидова и сферическая геометрии. В частности, для шести из этих геометрий ( за исключением Sol-геометрии) все замкнутые фактормногообразия являются слоениями Зейферта ( а всякое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру ( см. Скотт [4] и гл. [20]

Разбив произвольный треугольник на два прямоугольных, мы видим, что это выполнено для любого треугольника - еще одна существенная характеристика гиперболической геометрии. [21]

KOI ирис долгое мрсми имела епкли-допа теория параллельных, сомершеипо поразительным предстанляется тот факт, что с тех пор, как была открыта гиперболическая геометрия, едпа ли п этом направлении была проведена хоть какая-нибудь дальнейшая работа. [22]

Здесь равенство имеет место в евклидовой геометрии, а также, как мы видели выше, в геометрии Минковского; неравенство имеет место в гиперболической геометрии. [23]

Возвратимся к работе Белътрами, Он строил аналитически геометрию псевдосферы, но ведь это была в то же время, хотя бы и локально, гиперболическая геометрия, двумерная геометрия Лобачевского. Бельтрами, есте ственно, прежде всего выводит уравнение геодезической линии - прямой в гиперболической плоскости. Это уравнение мы уже привели выше; в декартовых координатах, как таковые определены на стр. [24]

Но я хотел бы на одном примере показать несколько подробнее, какой именно вид принимает теория параллелей на основании нашего выражения для расстояния; я выбираю для этой цели гиперболическую геометрию на плоскости. Тогда третью координату следует все время считать равной нулю, и наша квадратичная форма принимает вид Ф а2 Р2 - еб2; будучи приравнена нулю, она изображает в силу того, что е О, некоторое действительное коническое сечение, которое мы можем представить себе и начертить в виде эллипса. [25]

Модель гиперболической геометрии слишком искусственна и плохо поддается синтетическому рассмотрению; а работать без модели, как это делали Бойяи и Лобачевский, было бы для школы неоправданным риском. [26]

Двойственность между гексадами и дуадами. [27]

Объяснить все эти наблюдения нелегко. Несомненно, они связаны с гиперболической геометрией и структурой дыр решетки Лича. [28]

Разумеется, для человека, знакомого с геометрией Лобачевского, ошибка совершенно очевидна. Но выявление этого эквивалента пятого постулата до создания гиперболической геометрии представляет собой совершенно нетривиальное достижение. Этот и другие эквиваленты пятого постулата, открытые Лежандром ( один из них Клейн упоминает ниже), сыграли определенную роль в открытии Лобачевским его геометрии. Таким образом, роль ле-жандровской теории параллельных не следует недооценивать. [29]

Группа, определяющая эту геометрию ( группа Лоренца), оставляет инвариантным световой конус ( если начало координат неподвижно), и это определяет связь с геометрией Лобачевского и клейновским подходом к ней. Это в точности соответствует трехмерной модели Кэли - Клейна гиперболической геометрии. Из этого становится понятным, почему формулы геометрии Лобачевского использовались, например, при расчете серпуховского синхрофазотрона. Трактовка гиперболической геометрии в рамках псевдоевклидова простран - тва подробно и последовательно проведена в интересной книге: Д е л о н е Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. О дальнейших вопросах геометрии псевдоевклидовых пространств можно прочитать в интересной статье: Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии / / Энциклопедия элементарной математики. [30]

Страницы: 1 2 3 4