Cтраница 4
Определим конформную структуру поверхностей, описанных выше. Все эти четырехугольники имеют одни и те же вершины. Риманова поверхность должна быть выбрана так, чтобы она обладала конформными инволюциями, соответствующими отражениям. В модели постоянной кривизны наша поверхность образована конгруэнтными геодезическими четырехугольниками с углами тг / k ( прямоугольниками в случае k 2 и гиперболическими четырехугольниками при k 2) и с общими вершинами. Для таких четырехугольников мы должны доказать один стандартный факт из гиперболической геометрии. [46]
Очень тщательные математические исследования, выполненные Зеелигером, Эйнштейном и другими, приводят этих авторов к весьма своеобразному, чтобы не сказать парадоксальному, заключению. Произвольное распределение средней плотности материи в различных участках вселенной, евклидова геометрия в ней и всеобщее действие закона тяготения Ньютона находятся во взаимном противоречии и не дают возможности построить космологию, основанную на этих принципах. Следовательно, пути космологии ведут к тому, чтобы по крайней мере от одного из этих принципов отказаться. Только в том случае, если средняя плотность вещества в мироздании так ничтожна, что ее можно считать равной нулю, пространство может быть евклидовым. Если же, как это более вероятно, эта плотность не может быть сведена к нулю, то геометрия нашего пространства должна быть неевклидовой. Нужно быть очень осторожным, делая отсюда заключения. Эйнштейн склоняется к тому, что геометрия нашего пространства эллиптическая. Другие, естественно, отказываются признать возможным конечный мир, справедливо недоумевая, какая может быть речь о конечности всего мироздания. Третьи, признавая мир бесконечным, склоняются к мысли, что в нем царит гиперболическая геометрия. [47]