Cтраница 3
Читатель, вероятно, догадывается, что параболическая геометрия - геометрия пространства нулевой кривизны - есть геометрия Евклида; гиперболическая геометрия есть не что иное как геометрия Лобачевского. Геометрию, созданную Лобачевским, в настоящее время так и называют гиперболической геометрией ] говорят о гиперболической геометрии плоскости и пространства. [31]
В приведенном выше примере евклидовой метрики с угловой метрикой положительного избытка условие сха - 0 нарушается. Часть плоскости Н пнутри окружности ( сферической или епклидоной) может служить моделью гиперболической геометрии. Определив здесь угловую меру, как в сферической геометрии, мы получаем пример осуществления гиперболической аксиомы параллельных при положительном избыт; е; услоние сха - 0 здесь, конечно, подавно не удовлетворяется. [32]
Сулливана [73] в середине 80 - х, когда идеи голоморфной динамики, теории Тейхмюллера и гиперболической геометрии проникли в эту область. [33]
Читатель, вероятно, догадывается, что параболическая геометрия - геометрия пространства нулевой кривизны - есть геометрия Евклида; гиперболическая геометрия есть не что иное как геометрия Лобачевского. Геометрию, созданную Лобачевским, в настоящее время так и называют гиперболической геометрией ] говорят о гиперболической геометрии плоскости и пространства. [34]
Обозначим через К действительное коническое сечение Крис. Всякое движение плоскости Лобачевского должно, во-первых, переводить внутреннюю область этого конического сечения ( область операций гиперболической геометрии) в себя и, во-вторых, переводить прямые ( точнее, хорды этих прямых, высекаемые линией К) снова в прямые. Отсюда становится понятным, что в этой модели движения плоскости Лобачевского изображаются проективными преобразованиями, переводящими коническое сечение К в себя. Это в самом деле подтверждается; сказанное позволяет построить модель Кэли - Клейна гиперболической геометрии в рамках проективной геомет-грии. [35]
Первые две геометрии известны довольно хорошо, но я все же потрачу некоторое время на их обсуждение, с тем чтобы выявить сходство между ними. Гиперболическая плоскость известна гораздо хуже и многим представляется чем-то таинственным, поэтому я посвящу большую часть этого параграфа введению в гиперболическую геометрию. Основное, что нас будет интересовать в каждой геометрии, - это дискретные группы изометрий и соответствующие фактормногообразия. [36]
Интерпретация на бельтрамиевом круге этога дефекта не имеет, она осуществляет двумерную гиперболическую геометрию полностью. Геометрия Лобачевского воспроизведена в евклидовой плоскости и потому в отношении логической правильности она вызывает не больше сомнений, чем геометрия Евклида. Вопрос о непротиворечивости гиперболической геометрии был в этом смысле разрешен. [37]
Отображение гиперболической плоскости на евклидовом ( бельтрамиевом) круге выполнено совершенно безукоризненно; двумерная гиперболическая геометрия осуществляется здесь полностью. Совершенно аналогично выполняется отображение гиперболического пространства внутри евклидовой сферы. Всякое противоречие в гиперболической геометрии, если бы оно обнаружилось, означало бы, что аналогичное противоречие имеется и в геометрии Евклида, Поэтому гиперболическая геометрия логически столь же правильна, столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. [38]
Эйнштейна в ее разрешении, заключалась в том, чтобы установить уравнения, выражающие X, Y1, Z, через X, Y, Z, выражающие преобразования вектора скорости при переходе от одной системы референций к другой. Эти уравнения ( так называемые лоренцовы преобразования) в точности совпадают с уравнениями движения в гиперболическом пространстве. Обнаружена новая интерпретация гиперболической геометрии, теперь в физической теории. [39]
Мы закончим книгу обсуждением диаграмм Мипков-ского, сделав это весьма подробно для того, чтобы графически проиллюстрировать содержание принципа относительности. Это приведет нас к гиперболической геометрии пространства-времени Мипковского, в которой события, лежащие внутри световых конусов прошлого и будущего, инвариантно отличаются от событий, лежащих вне этих конусов. Благодаря такому отличию становится ясно, что различные наблюдатели не могут прийти к согласию в вопросе об одновременности в релятивистском физике, но это никоим образом не нарушает порядка причины и следствия при условии, что посылать сигналы, распространяющиеся быстрее света, невозможно. [40]
Кроме того, лучшие упаковки зачастую совсем неожиданно оказываются связанными с другими областями математики. Например, лучшие решетчатые упаковки в размерностях до восьми принадлежат к семействам An, Dn и Еп, и соответствующие диаграммы Кокстера - Дынкина ( см. гл. Подобным же образом в размерности 24 решетка Лича Л24 таинственно связана с гиперболической геометрией, алгебрами Ли, наибольшей спорадической простой группой - Монстром ( см. гл. [41]
Отображение гиперболической плоскости на евклидовом ( бельтрамиевом) круге выполнено совершенно безукоризненно; двумерная гиперболическая геометрия осуществляется здесь полностью. Совершенно аналогично выполняется отображение гиперболического пространства внутри евклидовой сферы. Всякое противоречие в гиперболической геометрии, если бы оно обнаружилось, означало бы, что аналогичное противоречие имеется и в геометрии Евклида, Поэтому гиперболическая геометрия логически столь же правильна, столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. [42]
Группа, определяющая эту геометрию ( группа Лоренца), оставляет инвариантным световой конус ( если начало координат неподвижно), и это определяет связь с геометрией Лобачевского и клейновским подходом к ней. Это в точности соответствует трехмерной модели Кэли - Клейна гиперболической геометрии. Из этого становится понятным, почему формулы геометрии Лобачевского использовались, например, при расчете серпуховского синхрофазотрона. Трактовка гиперболической геометрии в рамках псевдоевклидова простран - тва подробно и последовательно проведена в интересной книге: Д е л о н е Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. О дальнейших вопросах геометрии псевдоевклидовых пространств можно прочитать в интересной статье: Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии / / Энциклопедия элементарной математики. [43]
Обозначим через К действительное коническое сечение Крис. Всякое движение плоскости Лобачевского должно, во-первых, переводить внутреннюю область этого конического сечения ( область операций гиперболической геометрии) в себя и, во-вторых, переводить прямые ( точнее, хорды этих прямых, высекаемые линией К) снова в прямые. Отсюда становится понятным, что в этой модели движения плоскости Лобачевского изображаются проективными преобразованиями, переводящими коническое сечение К в себя. Это в самом деле подтверждается; сказанное позволяет построить модель Кэли - Клейна гиперболической геометрии в рамках проективной геомет-грии. [44]
Следуя общему замыслу Римана, определим в этом множестве элемент длины формой ( 51); она будет иметь положительное значение во всякой точке круга. Геометрия этого множества при основной форме ( 51) есть двумерная гиперболическая геометрия. [45]