Cтраница 1
Воображаемая геометрия обнимает употребительную геометрию, как частный случай к которому переходим, принимая линии бесконечно малыми: так что в этом отногиении употребительная геометрия может быть названа Геометрия дифференциальная. [1]
Лобачевский и развивал, воображаемой геометрии не касается. Сомнения возникают потому, что нельзя себе представить, чтобы Лобачевский, лично изложив начала своей геометрии, не мог убедить в их правильности избранных слушателей, в том числе того же Попова. Что даже крупные математики не могли понять того, что Лобачевский писал в своих мемуарах, это можно себе уяснить; но что он личным разъяснением не был в состоянии убедить таких людей, как Брашман, Попов и Больцаии, - это в настоящее время понять трудно. [2]
Если теперь Аналитика с новой - назовем воображаемой Геометрией в отличие от употребительной - соглашены уже между собою, то можно ожидать от той и другой взаимного пособия. Это ожидание кажется не без основания после того, как, предположивши собственно достигнуть только одной цели - дать общие правила для измерения всех геометрических величин - идя прямо к этой цели и дозволивши себе мимоходом только некоторые применения, мы были в состоянии открыть значения определенных интегралов, к познанию которых одной Аналитике, без пособия Геометрии, трудно было бы проложить дорогу. [3]
Если теперь аналитика с новой - назовем воображаемой геометрией, в отличие от употребительной - соглашены уже между собою, то можно ожидать от той и дру-юй взаимного пособия. [4]
В этом мемуаре им впервые была приведена реализация воображаемой геометрии Лобачевского в трехмерном евклидовом пространстве. [5]
Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику, и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий и углов. II), предполагая возможной всякую зависимость скорости от силы, или - выразимся вернее - предполагая силы, измеряемые всегда скоростию, подчиненными другому закону в соединении, нежели принятому сложению их. [6]
Это - очень характерный пример того, как Лобачевский применяет воображаемую геометрию к разысканию значений определенных интегралов. Данное вычисление выполнено совершенно безукоризненно и составляет неотъемлемое достижение Лобачевского. Это признает и Остроградский, хотя и в явно ироническом тоне. Что же дает ему основание для этой иронии. [7]
В следующем, 1835 г. в первой книжке Ученых записок помещен мемуар Лобачевского Воображаемая геометрия. С тех пор прошло свыше ста лет, журнал завоевал себе почетное место в научной литературе; но вряд ли на его страницах появлялась другая статья столь же высокого научного значения. Немного есть научных журналов, которые в первых своих выпусках содержали бы работу, сыгравшую такую важную роль в истории науки. [8]
Чтение этой работы для всякого, кто в первый раз начинает знакомиться с воображаемой геометрией Лобачевского, представляет громадные и, пожалуй, даже непреодолимые трудности. Самое расположение материала при изложении основных геометрических понятий, совершенно новая постановка задачи теории параллельных линий, новые результаты, не вяжущиеся с обычными геометрическими представлениями, и необходимость составить себе совершенно новые геометрические образы, излишние и даже ложные с точки зрения геометрии Евклида, - все это уже по существу затрудняет понимание воображаемой геометрии. Но кроме этих трудностей, которые коренятся в существе самого предмета, на пути читателя Лобачевский воздвиг еще и новые трудности. Первая часть О началах геометрии, в которой как раз и находится все наиболее существенное для понимания его воображаемой геометрии, не содержит почти никаких доказательств, написана чрезвычайно сжато и носит характер лишь краткого конспекта. Хотя изложение во второй и третьей частях более подробно, но все же и оно отличается излишней краткостью. Многие довольно длинные промежуточные вычисления опущены. В особенности затруднительны выкладки в последней части, причем иногда перемена обозначений способна привести читателя в совершенное отчаяние. [9]
Некто Швейкарт х назвал такую геометрию звездной ( Astralgeometrie), Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже 54 года ( с 1792 г.) имею то же убеждение ( с некоторым позднейшим расширением, на котором не хочу здесь останавливаться); по материалу я таким образом в сочинении Лобачевского не нашел для себя ничего нового; но в его развитии автор следует другому пути, отличному от того, которым я шел сам; оно выполнено Лобачевским с мастерством, в чисто геометрическом духе. [10]
Частью попутно, частью вслед за этим проводятся вычисления, имеющие своей основной задачей применение воображаемой геометрии к вычислению определенных интегралов. Основной замысел тот же: одна и та же геометрическая величина находится различными способами: либо путем расчленения на части, различным образом проводимого, либо интегральными вычислениями в различных координатах. В том и в другом случае сопоставление результатов приводит либо к установлению значения того или иного определенного интеграла, либо к преобразованию определенного интеграла в другой, более простой. Мемуар Применения воображаемой геометрии к некоторым интегралам заканчивается таблицей, содержащей 50 формул, которые выражают такого рода результаты. Искусство, с которым Лобачевский выполняет этого рода преобразования, - замечает Либман, - вызывает удивление... Вместе с тем, по словам того же Либмана, и эти мемуары больше, чем какая-либо другая из его работ, оправдывают замечание Гаусса, что работа Лобачевского напоминает непроходимый девственный лес. [11]
Этим заканчивается первая часть мемуара - попытка с самого начала дать более убедительное доказательство того, что воображаемая геометрия не содержит в себе противоречий. Однако очень любопытные соображения, которые Лобачевский для этого приводит, все же нельзя считать вполне убедительными: Лобачевский и сам это понимал, как это видно из его высказываний, его исканий в других работах. [12]
Все эти результаты весьма интересны сами по себе; они несомненно утверждают субъективную уверенность в полной логической правильности воображаемой геометрии, но объективного доказательства ее непротиворечивости они, конечно, не дают; самый этот метод к такому результату привести не может. [13]
Лобачевский, таким образом, пишет уравнения прямоугольного треугольника в таком виде, как они должны иметь место в воображаемой геометрии; он ставит теперь себе целью показать, что возможна геометрия, в которой стороны и углы прямоугольного треугольника связаны этими наперед заданными уравнениями. [14]
Из трех частей, на которые сочинение Новые начала таким образом разбивается, наибольшее значение имеет вторая часть - построение основ воображаемой геометрии. [15]