Cтраница 3
И действительно, всякий, кто проштудирует мемуар О началах геометрии, убеждением этим несомненно проникнется. Но сколь бы сильным это убеждение ни было, оно остается субъективным; действительно объективного, вполне убедительного доказательства, как теперь обыкновенно говорят, непротиворечивости воображаемой геометрии, строгого доказательства того, что противоречие в этой геометрии не может появиться, как бы далеко мы ее ни развивали, - его в рассуждении Лобачевского, конечно, не было, и он сам хорошо эго понимал. [31]
Это и есть второй интеграл, о котором говорит Остроградский; он действительно легко вычисляется элементарными средствами. Но ведь Лобачевский дорожил всяким случаем, когда он средствами воображаемой геометрии получал результат, который подтверждается классическими средствами; он видел в этом подтверждение логической правильности своей воображаемой геометрии. [32]
Лобачевский, таким образом, и сам стоит на том, что оба мемуара друг друга дополняют, но один другого не заменяет. И к сожалению, ни один из этих мемуаров не устанавливает твердо того основного факта, который так занимал Лобачевского, который действительно играет главную роль - не решает вопроса о непротиворечивости воображаемой геометрии. Нужно сказать, что Лобачевский был очень близок к решению этого вопроса. По существу, это решение у него собственно уже имеется; его нужно было иначе, точнее формулировать. Но это Лобачевским не было сделано; дать исчерпывающее решение вопроса составило уже удел его последователей. [33]
Чтение этой работы для всякого, кто в первый раз начинает знакомиться с воображаемой геометрией Лобачевского, представляет громадные и, пожалуй, даже непреодолимые трудности. Самое расположение материала при изложении основных геометрических понятий, совершенно новая постановка задачи теории параллельных линий, новые результаты, не вяжущиеся с обычными геометрическими представлениями, и необходимость составить себе совершенно новые геометрические образы, излишние и даже ложные с точки зрения геометрии Евклида, - все это уже по существу затрудняет понимание воображаемой геометрии. Но кроме этих трудностей, которые коренятся в существе самого предмета, на пути читателя Лобачевский воздвиг еще и новые трудности. Первая часть О началах геометрии, в которой как раз и находится все наиболее существенное для понимания его воображаемой геометрии, не содержит почти никаких доказательств, написана чрезвычайно сжато и носит характер лишь краткого конспекта. Хотя изложение во второй и третьей частях более подробно, но все же и оно отличается излишней краткостью. Многие довольно длинные промежуточные вычисления опущены. В особенности затруднительны выкладки в последней части, причем иногда перемена обозначений способна привести читателя в совершенное отчаяние. [34]
Но извините, я не могу выписать до слова то, что ниже излагается, потому что уже и так много выписал; а рассказать в коротких словах не умею, ибо отсюда-то и начинается самое непонятное. Кажется, что после нескольких определений, с таким же искусством и такою же точностью составленных, как и предыдущие, автор говорит что-то о треугольниках, о зависимости в них углов от сторон, чем главнейшим образом и отличается его Геометрия от ндшей; потом предлагает новую теорию параллельных, которая, по собственному его признанию, находится или нет в природе, никто доказать не в состоянии; наконец следует рассмотрение того, каким образом в этой воображаемой Геометрии определяется величина кривых линий, площадей, кривых поверхностей и объемов тел - и все это, еще раз повторяю, написано так, что ничего и понять не возможно. Во-вторых, в конце книги г. Лобачевский поместил два опреде лимые интеграла, которые он открыг мимоходом, идя прямо к своей цели - дать общие правила для измерения всех геометрических величин, и дозволивши себе только некоторые применения. Но не таковы ли ив самом деле большею частию бывают прославляемые у нас новооткрытия. Не часто ли случается, что старое, представленное только в каком-нибудь но-вим странном образе, выдают нам за новое, или и новое, но ложное, за чрезвычайно важное открытие. [35]
Очевидно, краткое изложение собственных идей в своих мемуарах Лобачевский предпочитал потому, что считал нужным свои изыскания, предназначенные для специалистов, излагать так, чтобы они требовали от читателя глубокого размышления. Этого взгляда и в настоящее время, конечно не без основания, придерживаются многие авторы; может быть, Лобачевский шел в этом направлении слишком далеко; идеи же, которые он опубликовал, были слишком своеобразны, слишком новы, очень мало доступны. Излагал ли когда-либо Лобачевский избранным студентам свою воображаемую геометрию. [36]
Связь между статьей в Сыне Отечества и отзывом Остроградского видна хотя бы из того, что оба рецензента единодушно отмечают наличие двух интегралов, из которых один находится гораздо легчайшим образом, другой совершенно неверен ( см. стр. Что это за неверный интеграл, который равен то тс / 4, то оо. Некоторое разъяснение этого приносит замечание Лобачевского, сделанное им в мемуаре Воображаемая геометрия. Он занимается вычислением объема круглого конуса, в котором образующие параллельны высоте и составляют с плоскостью основания угол а; вершину этого конуса, таким образом, можно представлять себе в бесконечно удаленной точке схождения параллельных образующих. [37]
Позднее эти новые разделы становятся основой развития новых отраслей науки и техники. Ярким примером является создание великим русским математиком Н. И. Лобачевским ( 1792 - 1856) так называемой воображаемой геометрии. Лобачевский отверг возможность доказательства так называемой аксиомы Эвклида о параллельных линиях с помощью прочих аксиом. [38]
Конечно, это утверждение еще звучит недостаточно убедительно. Не было уверенности, что в построении Лобачевского, повидимому складном в своих элементах, где-либо не таится противоречие, что новая геометрия, даже если она только и существует в нашем воображении, остается безукоризненно правильной и притом при любом значении k, что она действительно открывает надежный путь для взаимных приложений геометрии и аналитики. Лобачевский это хорошо понимал; это, главным образом, и побудило его к дальнейшему развитию воображаемой геометрии. Такое развитие идет через аналитическую и дифференциальную геометрию неевклидова пространства. [39]
В более общем виде основной замысел Лобачевского заключается в следующем. Тот или иной интеграл часто удается интерпретировать в виде значения некоторой длины, площади или объема в воображаемой геометрии. Между тем иногда это значение удается разыскать при помощи чисто геометрических соображений, основанных на новой геометрии; этим путем средствами воображаемой геометрии устанавливается значение определенного интеграла. Но более того, нередко, когда значение интеграла уже найдено, те же геометрические соображения дают указания, как разыскать значение этого же интеграла чисто аналитическими средствами. Получается возможность проверить результат, который найден при помощи соображений, основанных на неевклидовой геометрии. [40]
Верно то, что эти рассуждения пополняют те выводы, которые содержатся в мемуаре О началах геометрии. В мемуаре О началах геометрии установлено, что к этим уравнениям приводит постулат о параллельных в том виде, как он принят Лобачевским; в Воображаемой геометрии установлено обратное: из этих уравнений вытекает, что сумма углов треугольника меньше 2d, а следовательно, вытекает и вся воображаемая геометрия. [41]
В 1869 - 1870 гг. появляются работы итальянского математика Анджел о Дженокки п, бельгийского механика Жозефа де Тилли 12 и немецкого математика Эрнста Ше-ринга 13, положившие начало изучению механики в пространстве Лобачевского. Основной целью этих исследований было выяснить, не находится ли геометрия Лобачевского в противоречии с принципами механики. Мысль о необходимости такой проверки имелась уже у самого Лобачевского, который заканчивал в то время свою первую печатную работу, посвященную неевклидовой геометрии, О началах геометрии следующими словами: Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой Геометрии в Механику и не встретится ли здесь принятых уже и несомнительных понятий о природе вещей, но которые принудят нас ограничивать или совсем не допускать зависимости линий от углов. [42]
Верно то, что эти рассуждения пополняют те выводы, которые содержатся в мемуаре О началах геометрии. В мемуаре О началах геометрии установлено, что к этим уравнениям приводит постулат о параллельных в том виде, как он принят Лобачевским; в Воображаемой геометрии установлено обратное: из этих уравнений вытекает, что сумма углов треугольника меньше 2d, а следовательно, вытекает и вся воображаемая геометрия. [43]
В 1840 г. Лобачевский напечатал брошюру под заглавием Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Когда Гаусс познакомился с трудами Лобачевского, то он поступил относительно его так же, как прежде относительно Абеля и Якоби, которые достигли в теории эллиптических функций результатов, ему уже известных, но им не изданных: он отказался от принадлежности ему нового учения и ограничился тем, что выразил полное одобрение труду Лобачевского, находя только название воображаемой геометрии не довольно удзчно выбранным. [44]
Частью попутно, частью вслед за этим проводятся вычисления, имеющие своей основной задачей применение воображаемой геометрии к вычислению определенных интегралов. Основной замысел тот же: одна и та же геометрическая величина находится различными способами: либо путем расчленения на части, различным образом проводимого, либо интегральными вычислениями в различных координатах. В том и в другом случае сопоставление результатов приводит либо к установлению значения того или иного определенного интеграла, либо к преобразованию определенного интеграла в другой, более простой. Мемуар Применения воображаемой геометрии к некоторым интегралам заканчивается таблицей, содержащей 50 формул, которые выражают такого рода результаты. Искусство, с которым Лобачевский выполняет этого рода преобразования, - замечает Либман, - вызывает удивление... Вместе с тем, по словам того же Либмана, и эти мемуары больше, чем какая-либо другая из его работ, оправдывают замечание Гаусса, что работа Лобачевского напоминает непроходимый девственный лес. [45]