Cтраница 2
Отметив, однако, эти соображения, возвратимся к вычислениям Лобачевского, к построению аналитической и дифференциальной геометрии в общей системе его своеобразной воображаемой геометрии. Это составляет третью часть мемуара О началах геометрии, особенно важную потому, что в докладе Exposition succincte ее не было. [16]
В связи с этим Лобачевский приходит к убеждению, что теоретически k может иметь совершенно произвольное значение; это значит, каждому значению константы k соответствует своя логически безукоризненно правильная воображаемая геометрия. [17]
Сумма внутренних двугранных углов этого триэдра всегда равна 2d, независимо от того, понимаем ли мы параллелизм в евклидовом и ли в более общем его определении в воображаемой геометрии. И это имеет не только принципиальное, но и решающее значение: если представим себе поверхность, ортогонально секущую все лучи связки параллелей, и на ней будем разуметь под геодезическими сечения ее плоскостями, проходящими через лучи этой связки, то на ней сумма внутренних углов геодезического треугольника всегда равна двум прямым. Именно эту поверхность Лобачевский называет предельной поверхностью; формулированное выше предложение устанавливает, что на предельной поверхности сумма внутренних углов геодезического треугольника равна двум прямым; а это ведет к тому, что на предельной поверхности, независимо от того, принимаем ли мы на плоскости постулат Евклида или Лобачевского, всегда имеет место вся планиметрия Евклида. Значение этого факта уже достаточно было выяснено в главе XV ( стр. [18]
Дальнейшие главы, от II до VI, как мы уже указали, представляют собой развитие соответствующих глав Геометрии; они свидетельствуют, что Лобачевский в течение многих лет так же настойчиво размышлял над вопросами общего обоснования геометрии, как и над своей Воображаемой геометрией. Но легче было даже построить новую геометрию, чем строго обосновать старую. [19]
С произведениями Лобачевского познакомились и прежде всего - с наиболее доступным из его сочинений Geometrische Untersuchungen; теперь его идеи были усвоены и вызвали величайший интерес. Воображаемая геометрия Лобачевского была вновь призвана к жизни. Пионерами этого возрождения были Гуэль во Франции, Бальтцер в Германии и Баттальини в Италии. [20]
Свою неэвклидову геометрию Н.И.Лобачевский назвал Воображаемая геометрия, ибо в то время еще не были известны реальные процессы, предметы, пространственные свойства, которые отражаются в его теоретической системе. Роль воображения на протяжении всей истории физики убедительно вскрыта А. Закон инерции, - писал он, - является первым большим успехов в физике, фактически ее действительным началом. Он был получен размышлением об идеализированном эксперименте, о теле, постоянно движущемся без трения и без воздействия каких-либо других внешних сил. [21]
Лобачевский иногда находит значение сложного определенного интеграла, иногда приводит одни интегралы к другим. Он дает таким образом приложение воображаемой геометрии к анализу. Мемуар заканчивается таблицей, содержащей сравнение интегралов и найденные вновь определенные интегралы. Впрочем, в самом заключении Лобачевский отмечает еще один очень важный факт. [22]
Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения n чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и 6, х и у, постоянные и переменные величины... Именно так появились мнимые числа, воображаемая геометрия Лобачевского и др.; причем сами термины мнимое, воображаемая подчеркивают, что речь идет о мыслимых объектах, реальный смысл к-рых выяснился не сразу. [23]
Вместе с тем был один пробел в математическом наследии Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его воображаемой геометрии. Вместо построения необходимой для этого модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобаческого реализуется планиметрия Евклида. [24]
Это и есть второй интеграл, о котором говорит Остроградский; он действительно легко вычисляется элементарными средствами. Но ведь Лобачевский дорожил всяким случаем, когда он средствами воображаемой геометрии получал результат, который подтверждается классическими средствами; он видел в этом подтверждение логической правильности своей воображаемой геометрии. [25]
По утверждению автора можно принять, не впадая в противоречие, что через данную точку к данной прямой можно провести две несовпадающие параллельные прямые и между этими двумя параллелями через ту же точку могут проходить прямые, которые не встречают данной прямой, не будучи ей параллельны, хотя и лежат с нею в одной плоскости. На таком основании автор желает построить свою собственную науку, которую он называет воображаемой геометрией. Основы этой науки изложены в настоящей брошюре; однако этот принцип и вытекающее из него предложение ( стр. [26]
Она содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы строго последовательной, если бы евклидова геометрия не была истинной. Некто Швейкарт назвал такую геометрию звездной ( Astralgeometrie), Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. [27]
Соотношение ( 12) обыкновенно называют основным, уравнением геометрии Лобачевского. С его помощью все вопросы метрической геометрии разрешаются; когда оно было найдено, элементы новой воображаемой геометрии были установлены. [28]
В более общем виде основной замысел Лобачевского заключается в следующем. Тот или иной интеграл часто удается интерпретировать в виде значения некоторой длины, площади или объема в воображаемой геометрии. Между тем иногда это значение удается разыскать при помощи чисто геометрических соображений, основанных на новой геометрии; этим путем средствами воображаемой геометрии устанавливается значение определенного интеграла. Но более того, нередко, когда значение интеграла уже найдено, те же геометрические соображения дают указания, как разыскать значение этого же интеграла чисто аналитическими средствами. Получается возможность проверить результат, который найден при помощи соображений, основанных на неевклидовой геометрии. [29]
В 1834 г. по инициативе Лобачевского начинают выходить Ученые записки Казанского университета. Первая книга открывается краткой вступительной статьей Лобачевского, о которой нам придется говорить ниже; за этим, в первой книжке за 1835 г. следует мемуар Воображаемая геометрия. Собственно, этот мемуар был раньше составлен на французском языке и послан в журнал Крелля; но в этом журнале он появился только через два года Ч Причина задержки - заключалась ли она в очередности поступавших в редакцию статей или были колебания относительно его печатания - остается невыясненной. Во всяком случае Лобачевский перевел эту работу на русский язык, внес при этом некоторые изменения и в таком виде опубликовал ее в Ученых записках, а также выпустил отдельным изданием. [30]