Cтраница 4
Здесь же особенно отметим следующее. Собственные исследования, на которых были главным образом сосредоточены мысли Лобачевского, носили преимущественно ярко выраженное логическое направление. Но он никогда не уходил исключительно в формальную сторону науки; ее прикладная сторона всегда живо его интересовала. Логическим рассуждениям в воображаемой геометрии всегда сопутствовали обширные вычисления: логическая и вычислительная математика всегда составляет одно неразрывное целое. [46]
Все это нужно выяснить, нужно пролить свет на эти начала геометрии. Установление основных понятий ( категорий), установление связей между ними, из которых их свойства могут выводиться строго логическим путем - самая трудная задача во всякой дедуктивной науке, может быть труднее других в геометрии. Рассуждения, возникшие в связи с развитием идей Лобачевского, содержащихся в его воображаемой геометрии, и привели к выяснению этих вопросов; но Лобачевский далеко еще не дал их разрешения. [47]
Чтение этой работы для всякого, кто в первый раз начинает знакомиться с воображаемой геометрией Лобачевского, представляет громадные и, пожалуй, даже непреодолимые трудности. Самое расположение материала при изложении основных геометрических понятий, совершенно новая постановка задачи теории параллельных линий, новые результаты, не вяжущиеся с обычными геометрическими представлениями, и необходимость составить себе совершенно новые геометрические образы, излишние и даже ложные с точки зрения геометрии Евклида, - все это уже по существу затрудняет понимание воображаемой геометрии. Но кроме этих трудностей, которые коренятся в существе самого предмета, на пути читателя Лобачевский воздвиг еще и новые трудности. Первая часть О началах геометрии, в которой как раз и находится все наиболее существенное для понимания его воображаемой геометрии, не содержит почти никаких доказательств, написана чрезвычайно сжато и носит характер лишь краткого конспекта. Хотя изложение во второй и третьей частях более подробно, но все же и оно отличается излишней краткостью. Многие довольно длинные промежуточные вычисления опущены. В особенности затруднительны выкладки в последней части, причем иногда перемена обозначений способна привести читателя в совершенное отчаяние. [48]
Но, по существу, замысел Лобачевского был гораздо шире: это тот же замысел, который так часто ставили себе комментаторы Евклида: дать безукоризненное построение начал геометрии. Первые шаги в деле осуществления этого замысла мы находим уже в Геометрии. Несомненно, и самое создание неевклидовой геометрии находится с этим в тесной связи. Обстоятельно изложить построение начал неевклидовой геометрии действительно было уже необходимо. В мемуаре О началах геометрии, как мы видели, самые основы неевклидовой геометрии изложены конспективно, в такой сжатой форме, что уяснить себе их по этому очерку было невозможно. В мемуаре Воображаемая геометрия Лобачевский исходит из готовых уже уравнений, связывающих стороны и углы треугольника; они кажутся неожиданно упавшими с неба; Лобачевский и сам говорит, что такое априорное задание аналитической базы может вызвать у читателя изумление; чтобы устранить возникающее недоумение, Лобачевский вновь отсылает читателя к сочинению О началах геометрии; получается заколдованный круг. Чтобы из него выйти, Лобачевский считает необходимым изложить всю геометрию сначала, и притом чисто синтетически. [49]
Сумма внутренних двугранных углов этого триэдра всегда равна 2d, независимо от того, понимаем ли мы параллелизм в евклидовом и ли в более общем его определении в воображаемой геометрии. И это имеет не только принципиальное, но и решающее значение: если представим себе поверхность, ортогонально секущую все лучи связки параллелей, и на ней будем разуметь под геодезическими сечения ее плоскостями, проходящими через лучи этой связки, то на ней сумма внутренних углов геодезического треугольника всегда равна двум прямым. Именно эту поверхность Лобачевский называет предельной поверхностью; формулированное выше предложение устанавливает, что на предельной поверхности сумма внутренних углов геодезического треугольника равна двум прямым; а это ведет к тому, что на предельной поверхности, независимо от того, принимаем ли мы на плоскости постулат Евклида или Лобачевского, всегда имеет место вся планиметрия Евклида. Значение этого факта уже достаточно было выяснено в главе XV ( стр. В мемуаре О началах геометрии вывод их изложен в чрезвычайно схематическом виде; в Воображаемой геометрии он вовсе не дан; только здесь, в Новых началах он изложен строго синтетически, с безукоризненной точностью, но все же, как всегда у Лобачевского, очень сжато. [50]