Cтраница 1
Аффинная геометрия занимается изучением тех свойств геометрических фигур, которые остаются инвариантными при аффинных преобразованиях. [1]
Аффинная геометрия является ближайшим обобщением евклидовой геометрии. Важным примером аффинной геометрии является аффинная плоскость. [2]
В аффинной геометрии вводится важное понятие аффинного преобразования. Это преобразование в случае плоскости переводит прямые в прямые. [3]
Из аффинной геометрии известно, что параболой называется кривая второго порядка, касающаяся несобственной прямой, или, что то же самое, кривая, имеющая одну несобственную точку. В связи с этим для получения параболы необходимо, чтобы секущая плоскость была параллельно одной образующей конической поверхности. В пределе, когда секущая плоскость переходит в касательную к поверхности, две симметричные дуги параболы преобразуются в две полупрямые, принадлежащие одной прямой. [4]
В аффинной геометрии эллипс и эллипсоид обладают изопериметрическими свойствами, аналогичными свойствам круга и шара. [5]
В аффинной геометрии имеет смысл понятие алгебраической линии и, в частности, понятие линии второго порядка. Предложение 14 § 3 показывает, что все линии второго порядка, принадлежащие одному аффинному классу, равны между собой, а линии из разных аффинных классов не равны. Например, в аффинной геометрии окружности неотличимы от эллипсов; и окружности и эллипсы с любыми полуосями - это с точки зрения аффинной геометрии разные положения одной и той же линии, которую можно назвать эллипсом. [6]
В аффинной геометрии имеет смысл понятие алгебраической линии и, в частности, понятие липни второго порядка. Предложение 8 § 3 показывает, что все липии второго порядка, принадлежащие одному аффинному классу, равны между собой, а линии из разных аффинных классов не равны. Например, в аффинной геометрии окружности неотличимы от эллипсов, и окружности и эл-лппсы с любыми полуосями - это с точки зрения аффинной геометрии разные положения одной и той же лпнии, которую можно назвать эллипсом. [7]
В аффинной геометрии имеет смысл понятие алгебраической линии и, в частности, понятие линии второго порядка. Предложение 8 § 3 показывает, что все линии второго порядка, принадлежащие одному аффинному классу, равны между собой, а линии из разных аффинных классов не равны. Например, в аффинной геометрии окружности неотличимы от эллипсов, и окружности и эллипсы с любыми полуосями-это с точки зрения аффинной геометрии разные положения одной и той же линии, которую МОУНО назвать эллипсом. [8]
В аффинной геометрии операции над векторами позволяют определить точечные преобразования, называемые аффинными. Аналогичное положение имеет место и для проективной и круговой геометрий, о которых мы скажем позднее несколько слов. Множество всех точечных преобразований некоторой геометрии образует группу, которая характеризует эту геометрию; эта группа может служить для определения этой геометрии. [9]
В аффинную геометрию может быть введен основной тензор второго порядка; он может служить для жонглирования индексами; но до тех пор, пока он не обращен в менсор, пока вейли не отождествлены с христофелями, из этого тензора выводимое пространство остается аффинным, а не метрическим, не Римановым. [10]
Система аксиом аффинной геометрии состоит из всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиом конгруэнтности. Система аксиом аффинной геометрии на плоскости включает еще аксиому Дезарга в соответствующей формулировке, учитывающей возможность параллельных прямых. [11]
В случае аффинной геометрии простейшая фигура на прямой состоит из трех точек. [12]
Переход от аффинной геометрии к евклидовой, связанный с уменьшением группы Aff ( R2) до ее подгруппы Ort ( R2), сцова существенно обогащает геометрию. [13]
Основным понятием аффинной геометрии является, конечно, понятие прямой. Поэтому естественно возникает вопрос о наиболее общих преобразованиях ( вещественной) аффинной плоскости или ( вещественного) аффинного пространства, переводящих прямые в прямые. Такого рода преобразования будут в этой главе изучены в рамках элементарного содержательного понимания геометрии. Уточнения аксиоматического плана предоставляются инициативе читателя. [14]
Основным инвариантом аффинной геометрии является, как мы знаем, простое отношение трех точек прямой. [15]