Cтраница 4
Оставляя в стороне вывод основных формул геометрии Лобачевского, какой можно было бы дать так же, как и при отображении Паункаре ( Успенский, стр. Лобачевским: формулы геометрии Лобачевского совпадают с формулами сферической геометрии на сфере мнимого радиуса i ( Успенский, стр. [46]
Однако наряду с некоторыми сходствами имеется большое различие между сферической геометрией, с одной стороны, и геометриями Евклида и Лобачевского - с другой. Аксиомы, следовательно, и теоремы и формулы сферической геометрии во многом отличаются от аксиом, теорем и формул плоской геометрии Евклида, а также Лобачевского. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину. [47]
Разумеется, теорема о сумме углов треугольника - - не единственная теорема планиметрии, которая перестает быть верной в искривленном мире. Вернувшись снова на сферу, мы обнаружим, что в сферической геометрии не выполняется теорема Пифагора. Сфери ческий треугольник с тремя прямыми углами является равносторонним, но вместо обычной теоремы Пифагора на сфере мы приходим к соотношению С2а2г - 62 - По величине разности между правой и левой частью этого неравенства ( дефекту теоремы Пифагора) обитатель сферы также может вычислить кривизну своего мира. [48]
А как обстоит дело на сфере с параллельными. Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две прямые пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии. Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно удобна в обращении и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой геометрии. [49]
Не думайте, что геометрия на поверхности шара целиком и полностью отличается от евклидовой. Большинство евклидовых теорем, которые не зависят от идеи параллельных прямых, остаются верными для сферической геометрии. Для нее сохраняются, например, и теория конгруэнтных треугольников, и свойство равенства углов при основании равнобедрещого. [50]
Пересекая трехгранный угол SABC поверхностью шара с центром S, мы получим неравнобедренный сферический треугольник ABC, в котором биссектриса SD совпадает с медианой. Тем самым показано, что предложение, рассмотренное в упражнении 5 3 планиметрии, не имеет места в сферической геометрии. [51]
Это означает, что конвективными членами можно пренебречь, если амплитуда пульсации пузырька во много раз меньше толщины температурного погранслоя в фазах. Хотя следует ожидать, что при тонких температурных погран-слоях значение слагаемых с 99 / дг, появляющихся из-за сферической геометрии задачи, становится мало. Во всяком случае при б [ Са даже при нарушении (2.7.7) указанные нелинейные конвективные члены в (2.7.6) могут быть отброшены. [52]