Cтраница 3
Теорема 23.10, вероятно, менее полезна, чем теорема 23.9, для получения оценок ошибок, но с ее помощью удобно сравнивать технику Гершгорина с результатами, полученными ниже, когда Lh - оператор не неотрицательного типа. [31]
Наиболее общее условие для устойчивости в малом, безусловно, основано на знаках собственных значений матрицы А, но более простое достаточное условие может быть получено при применении критерия Гершгорина к столбцам матрицы А. [32]
Отсюда следует, что если А - действительная матрица ( или комплексная матрица, у которой элементы главной диагонали и коэффициенты ее характеристического полинома действительны) и ее круги Гершгорина все попарно не пересекаются, то все характери стические числа матрицы А действительны. [33]
Пакет программ по собственным значениям и соответствующие базисные предписания позволяют тридиагонализировать матрицу, вычислить элементарное вращение матрицы, осуществить элементарный поворот матрицы относительно двух строк, определить подматрицу Якоби, осуществить шаг QR-алгори тма, вычислить сдвиг Гершгорина, определить границы кругов Герш-горина, вычислить число перемен знаков в подматрице Якоби. [34]
Чтобы помочь читателю ориентироваться в этих вопросах, мы обращаем внимание на статьи Бачелета [1952] и Гизе [1958], в которых рассматривается погрешность метода для граничных условий, не являющихся условиями типа Дирихле, В довольно большой статье Бачелета применяется описанный выше общий метод Гершгорина к третьей граничной задаче. Статья Гизе посвящена задаче Неймана для прямоугольника и использует метод рядов Фурье, предложенный Вазовым [1952] для задачи Дирихле. Гизе использует разностную формулу (20.51) для Aft и центральную разностную аппроксимацию нормальной производной и а границе. [35]
Матрица А симметрична, со строгим диагональным преобладанием. По геореме Гершгорина о локализации собственных значений она положительно определена и, разумеется, неособенная. Следовательно, сплайн-функция g ( х) также однозначно восстанавливается по формулам (1.6) и задача о нахождении кусочно-кубической функции g ( х) имеет единственное решение. [36]
Эту теорему можно применить и к матрице т, так как транспонированная матрица имеет те же собственные значения, что и А. Заметим, что метод оценок Гершгорина эффективен, если наддиагональные элементы матрицы малы по сравнению с диагональными или если матрица содержит много нулевых элементов. [37]
Эту теорему можно применить и к матрице Аг, так как транспонированная матрица имеет те же собственные значения, что и А. Заметим, что метод оценок Гершгорина эффективен, если наддиагональные элементы матрицы малы по сравнению с диагональными или если матрица содержит много нулевых элементов. [38]
Матрицы кинематических коэффициентов в естественных координатах, как правило, почти диагональны, поэтому их собственные значения локализованы на сравнительно небольших, в ряде случаев неперекрывающихся отрезках числовой оси, и довольно близки к значениям диагональных элементов. В связи с этим критерий Гершгорина в данном случае вполне применим. [39]
Здесь ст - некоторое положительное число, которое определяет порядок модуля окончательного результата. Как только такая функция Q построена, исходные рассуждения Гершгорина применимы без изменения. Детали можно найти в статье Лаасонена. [40]
Предположим, что матрица А перестановкой строк и столбцов не может быть приведена к клеточно-треугольному виду. Доказать, что все ее собственные значения лежат внутри объединения кругов Гершгорина, за исключением того случая, когда собственное значение является общей граничной точкой всех п кругов. [41]
При этом оказывается важным знание характера зависимостей интересующих нас показателей качества регулирования в сепаратной системе от переменного коэффициента усиления A. В этих случаях достаточно провести контроль показателей качества для граничных значений Я, расположенных на окружности Гершгорина. [42]
Непосредственное отношение к вычислительным машинам имеют так называемые счетно-решающие машины. Заслуга теоретических разработок в этой области принадлежит советским ученым. Гершгорин впервые доказал возможность создать механизм, способный решать любые алгебраические задачи. [43]
Если собственными значениями А являются цг, то собственными значениями Pk ( A) являются Pk ( и. Сделаем снова разумное предположение, что все, что мы знаем oji -, - это то, что они находятся в некотором действительном интервале [ а, Ь ], где а, Ь ( 0Ъ [ ft оо) - известные постоянные. На практике разумное Ъ легко найти из теоремы Гершгорина ( Милн [1953], стр. [44]
Имеются и другие методы, подобные методу 3, в которых конечно-разностный аналог оператора Лапласа составляется в каждом внутреннем узле. Например, в точке Е разностный оператор может включать пять соседних точек ЕЕ, NE, P, SS, SSEE. Можно проанализировать погрешность этих трех методов, следуя общему подходу Гершгорина, обобщенному в разд. Допустим, что интерполяция по линии раздела выполнена так тщательно, что не повышает порядка величины погрешности метода внутри R. [45]