Cтраница 2
При А 1: Я 4, / 3, 22, а 1; поверхность представляет собой двуполостный гиперболоид. [16]
Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения, если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то однополостный. [17]
Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем, если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения; если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то одиополостный. [18]
В частности, для поверхностей 2, 3, 4 показать, что при одних и тех же а, Ь и в двуполостный гиперболоид лежит внутри конуса, а конус в свою очередь лежит внутри однополостного гиперболоида. [19]
Если для определенности мы положим а Ь с, то при X с уравнение ( 1) представит вещественный эллипсоид, при b X с оно представит одно-полостный гиперболоид, при а X Ь - двуполостный гиперболоид и, наконец, при Х а - мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. [20]
При А, 0 эллипсоид, при X 0 точка, при X О пустое множество; 2) при X 0 эллипсоид, при X О эллиптический цилиндр, при А, О однополостный гиперболоид; 3) при А, 0 эллипсоид, при Я 0 прямая, при X О двуполостный гиперболоид; 4) при X О однополостный гиперболоид, при X 0 конус, при X О двуполостный гиперболоид; 5) При X 0 двуполостный гиперболоид, при Х 0 конус, при А 0 однополостный гиперболоид; 6) при X О эллипсоид, при А, 0 пара параллельных плоскостей, при А, 3 О двуполостный гиперболоид; 7) при А, 0 эллипсоид, при А, 0 плоскость, при Я 3 0 однополостный гиперболоид; 8) при А. А, 0 прямая; 9) при X О эллиптический параболоид, при X 0 параболический цилиндр, при X 3 0 гиперболический параболоид; 10) при X f О эллиптический параболоид, при X 0 плоскость; 11) при X 0 эллиптический параболоид, при Х 0 плоскость, при X О гиперболический параболоид; 12) при X 0 эллиптический параболоид, при X 0 пара параллельных плоскостей, при X 3 О гиперболический параболоид; 13) при X 0 эллиптический цилиндр, при X 0 прямая, при X 3 0 пустое множество; 14) при X ф 0 гиперболический цилиндр, при X 0 пара пересекающихся плоскостей. [21]
В случае, когда F ( х, ц, г) - многочлен первой степени, уравнение ( 13) определяет плоскость Если F ( к, / /, г) - многочлен второй степени ( по совокупности переменных), то уравнение ( 13) определяет в зависимости от значений своих коэффициентов следующие поверхности второго порядка: эллипсоид ( частным случаем которого является шар), двуполостный гиперболоид, одкополостиый гиперболоид, эллиптический гиперболоид и гиперболический параболоид, а также ( в вырожденном случае) - конус и цилиндр. [22]
При А, 0 эллипсоид, при X 0 точка, при X О пустое множество; 2) при X 0 эллипсоид, при X О эллиптический цилиндр, при А, О однополостный гиперболоид; 3) при А, 0 эллипсоид, при Я 0 прямая, при X О двуполостный гиперболоид; 4) при X О однополостный гиперболоид, при X 0 конус, при X О двуполостный гиперболоид; 5) При X 0 двуполостный гиперболоид, при Х 0 конус, при А 0 однополостный гиперболоид; 6) при X О эллипсоид, при А, 0 пара параллельных плоскостей, при А, 3 О двуполостный гиперболоид; 7) при А, 0 эллипсоид, при А, 0 плоскость, при Я 3 0 однополостный гиперболоид; 8) при А. А, 0 прямая; 9) при X О эллиптический параболоид, при X 0 параболический цилиндр, при X 3 0 гиперболический параболоид; 10) при X f О эллиптический параболоид, при X 0 плоскость; 11) при X 0 эллиптический параболоид, при Х 0 плоскость, при X О гиперболический параболоид; 12) при X 0 эллиптический параболоид, при X 0 пара параллельных плоскостей, при X 3 О гиперболический параболоид; 13) при X 0 эллиптический цилиндр, при X 0 прямая, при X 3 0 пустое множество; 14) при X ф 0 гиперболический цилиндр, при X 0 пара пересекающихся плоскостей. [23]
При А, 0 эллипсоид, при X 0 точка, при X О пустое множество; 2) при X 0 эллипсоид, при X О эллиптический цилиндр, при А, О однополостный гиперболоид; 3) при А, 0 эллипсоид, при Я 0 прямая, при X О двуполостный гиперболоид; 4) при X О однополостный гиперболоид, при X 0 конус, при X О двуполостный гиперболоид; 5) При X 0 двуполостный гиперболоид, при Х 0 конус, при А 0 однополостный гиперболоид; 6) при X О эллипсоид, при А, 0 пара параллельных плоскостей, при А, 3 О двуполостный гиперболоид; 7) при А, 0 эллипсоид, при А, 0 плоскость, при Я 3 0 однополостный гиперболоид; 8) при А. А, 0 прямая; 9) при X О эллиптический параболоид, при X 0 параболический цилиндр, при X 3 0 гиперболический параболоид; 10) при X f О эллиптический параболоид, при X 0 плоскость; 11) при X 0 эллиптический параболоид, при Х 0 плоскость, при X О гиперболический параболоид; 12) при X 0 эллиптический параболоид, при X 0 пара параллельных плоскостей, при X 3 О гиперболический параболоид; 13) при X 0 эллиптический цилиндр, при X 0 прямая, при X 3 0 пустое множество; 14) при X ф 0 гиперболический цилиндр, при X 0 пара пересекающихся плоскостей. [24]
При А, 0 эллипсоид, при X 0 точка, при X О пустое множество; 2) при X 0 эллипсоид, при X О эллиптический цилиндр, при А, О однополостный гиперболоид; 3) при А, 0 эллипсоид, при Я 0 прямая, при X О двуполостный гиперболоид; 4) при X О однополостный гиперболоид, при X 0 конус, при X О двуполостный гиперболоид; 5) При X 0 двуполостный гиперболоид, при Х 0 конус, при А 0 однополостный гиперболоид; 6) при X О эллипсоид, при А, 0 пара параллельных плоскостей, при А, 3 О двуполостный гиперболоид; 7) при А, 0 эллипсоид, при А, 0 плоскость, при Я 3 0 однополостный гиперболоид; 8) при А. А, 0 прямая; 9) при X О эллиптический параболоид, при X 0 параболический цилиндр, при X 3 0 гиперболический параболоид; 10) при X f О эллиптический параболоид, при X 0 плоскость; 11) при X 0 эллиптический параболоид, при Х 0 плоскость, при X О гиперболический параболоид; 12) при X 0 эллиптический параболоид, при X 0 пара параллельных плоскостей, при X 3 О гиперболический параболоид; 13) при X 0 эллиптический цилиндр, при X 0 прямая, при X 3 0 пустое множество; 14) при X ф 0 гиперболический цилиндр, при X 0 пара пересекающихся плоскостей. [25]
Поэтому такой гиперболоид называют двуполостным гиперболоидом вращения. В общем случае двуполостный гиперболоид получается из двуполостного гиперболоида вращения равномерным растяжением вдоль оси, перпендикулярной к оси вращения. [26]
В связи с этим двуполостный гиперболоид в четырехмерном пространстве имеет важное значение в теории относительности. [27]
Изобразим заданные тела геометрически. Графиком первой поверхности является двуполостный гиперболоид, ось симметрии которого совпадает с осью ОХ, а второй - эллипсоид. Поэтому имеем три тела 7, Т2 и Т3 ( рис. 1), ограниченные этими двумя поверхностями. Эти три тела ограничены непрерывными поверхностями и, следовательно, они измеримы в смысле Жордана, а также в смысле Лебега. [28]
Ведь соприкасающаяся плоскость нашей огибающей всегда касается гиперболоида и значит перпендикулярна касательной плоскости эллипсоида ( по теореме об ортогональности системы исходящих из одной точки касательных конусов) и отсюда следует по ранее приведенному определению, ч го мы действигелы о имеем дело с геодезической линией. Таким образом отдельный одно-полостный или двуполостный гиперболоид порождает нам на эллипсоиде однопараметрическое семейство геодезических линий, которые все касаются одной и той же линии кривизны; если мы рассматриваемый гиперболоид заставим пробегать все семейство гиперболоидов, то получим на эллипсоиде совокупность геодезических линий, зависящую от двух параметров. [29]
При k 7 / 4 двуполостный гиперболоид, при k 7 / 4 конус, при k; 7 / 4 однополостный гиперболоид; 2) при k 0 двуполостный гиперболоид, при fe 0 гиперболический цилиндр, при k 0 однополостный гиперболоид; 3) при k 6 мнимый эллипсоид, при k 6 мнимый конус, при k 3 6 эллипсоид; 4) при k 8 эллипсоид; при k 8 эллиптический цилиндр; при k 8 однополостный гиперболоид; 5) при k ь 3 гиперболический параболоид, при k 3 гиперболический цилиндр; 6) при k 1 однополостный гиперболоид, при k - 1 конус, при & 1 двуполостный гиперболоид. Подробно о переходе от почти канонического уравнения к каноническому сказано во введении к настоящему параграфу. [30]