Cтраница 3
Таким образом, мы видим, что вектор перемещения в точке В будет описывать поверхность второго порядка с центром в той же точке. Это может быть однополостный или двуполостный гиперболоид или эллипсоид. По физической сущности задачи поверхность не должна иметь бесконечно удаленных точек; следовательно, это будет эллипсоид или те поверхности, в которые эллипсоид может вырождаться. [31]
Имеем / 3 - 15 ф 0; отсюда уже следует, что это поверхность I типа и поэтому она имеет единственный центр. Следовательно, рассматриваемая поверхность представляет собой двуполостный гиперболоид ( см. таблицу, стр. [32]
Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостныи гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид. [33]
Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид. [34]
При k 7 / 4 двуполостный гиперболоид, при k 7 / 4 конус, при k; 7 / 4 однополостный гиперболоид; 2) при k 0 двуполостный гиперболоид, при fe 0 гиперболический цилиндр, при k 0 однополостный гиперболоид; 3) при k 6 мнимый эллипсоид, при k 6 мнимый конус, при k 3 6 эллипсоид; 4) при k 8 эллипсоид; при k 8 эллиптический цилиндр; при k 8 однополостный гиперболоид; 5) при k ь 3 гиперболический параболоид, при k 3 гиперболический цилиндр; 6) при k 1 однополостный гиперболоид, при k - 1 конус, при & 1 двуполостный гиперболоид. Подробно о переходе от почти канонического уравнения к каноническому сказано во введении к настоящему параграфу. [35]
В случае, когда F ( х, у, г) - многочлен первой степени, уравнение ( 13) определяет плоскость. Если F ( х, у, г) - многочлен второй степени ( по совокупности переменных), то уравнение ( 13) определяет в зависимости от значений своих коэффициентов следующие поверхности второго порядка: эллипсоид ( частным случаем которого является шар); двуполостный гиперболоид, одиополостный гиперболоид, эллиптический гиперболоид и гиперболический параболоид, а также конус и цилиндр. [36]
Второй метод позволяет найти параметрические уравнения, по которым можно вычислить координаты любой точки искомой линии. Для определения линий пересечения поверхностей второго порядка используют проективные свойства пар поверхностей, разбитых на несколько классов: 1) параболический цилиндр - поверхность второго порядка; 2) двухполостный гиперболоид - поверхность второго порядка; 3) эллипсоид - сфера; 4) эллиптический параболоид - сфера; 5) двуполостный гиперболоид - сфера. [37]
При k 7 / 4 двуполостный гиперболоид, при k 7 / 4 конус, при k; 7 / 4 однополостный гиперболоид; 2) при k 0 двуполостный гиперболоид, при fe 0 гиперболический цилиндр, при k 0 однополостный гиперболоид; 3) при k 6 мнимый эллипсоид, при k 6 мнимый конус, при k 3 6 эллипсоид; 4) при k 8 эллипсоид; при k 8 эллиптический цилиндр; при k 8 однополостный гиперболоид; 5) при k ь 3 гиперболический параболоид, при k 3 гиперболический цилиндр; 6) при k 1 однополостный гиперболоид, при k - 1 конус, при & 1 двуполостный гиперболоид. Подробно о переходе от почти канонического уравнения к каноническому сказано во введении к настоящему параграфу. [38]
На рис. 7.5 изображена карта верхней полости двуполостного гиперболоида. Из формул (7.41) следует, что при увеличении h эллипсы (7.40) неограниченно увеличиваются, так что полости двуполостного гиперболоида представляют собой бесконечные чаши. На рис. 7.6 изображен двуполостный гиперболоид. [39]
Выражение (2.48) является уравнением центральной поверхности второго порядка, которую называют поверхностью деформации. В этом случае любой произвольный элементарный отрезок PoQo испытывает растяжение. При D 0, Д / зг 0 и ( или) / 2е 0 рассматриваемая поверхность представляет собой двуполостный гиперболоид. В этом случае одни элементы PoQo растянуты, а другие, соответствующие сопряженному гиперболоиду, будут сжатыми. [40]
Вычисляем прежде всего дискриминанты уравнения поверхности и старших членов: & - 16, 3 - - 4 - 32; оба они отличны от нуля, и, следовательно, данное уравнение изображает центральную поверхность, не вырождающуюся в конус. Решать его нет надобности; достаточно определить знаки его корней. С этой целью можем воспользоваться следующим правилом: если левая часть кубического уравнения, имеющего только вещественные корни, расположена по убывающим степеням неизвестного, то число положительных корней уравнения равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов, а число отрицательных корней равно числу постоянств знаков в этом ряду. Таким образом, решающее уравнение имеет один положительный и два отрицательных корня; кроме того, отношение дискриминантов Д / 8 отрицательное, а потому данное уравнение, согласно таблице, приведенной в тексте, изображает двуполостный гиперболоид. Решающее уравнение ( s3 - 6s2 7s - f - 2 0) имеет два положительных и один отрицательный корень. Все корни решающего уравнения ( s3 - 6s24 - Hs - 6 0) положительные. [41]
Вычисляем прежде всего дискриминанты уравнения поверхности и старших членов: Д - 16, 5 - f - 32; оба они отличны от нуля, и, следовательно, данное уравнение изображает центральную поверхность, не вырождающуюся в конус. Решать его нет надобности; достаточно определить знаки его корней. С этой целью можем воспользоваться следующим правилом: если левая часть кубического уравнения, имеющего только вещественные корни, расположена по убывающим степеням неизвестного, то число положительных корней уравнения равно числу перемен знаков в ряду его коэффициентов, а число отрицательных корней равно числу постоянств знаков в этом ряду. Таким образом, решающее уравнение имеет один положительный и два отрицательных корня; кроме того, отношение дискриминантов Л / 5 отрицательное, а потому данное уравнение, согласно таблице, приведенной в тексте, изображает двуполостный гиперболоид. Решающее уравнение ( s3 - 6s2 - f 7s 2 0) имеет два положительных и один отрицательный корень. Все корни решающего уравнения ( s3 - 6s2 - f - 11s - 6 0) положительные. [42]
Поговорим теперь, в частности, о пользе этахрассмотрений для геометрии. О с помощью линейной подстановки переменных можно преобразовать к некоторому другому виду, который представит нам образ, равносильный с образом первого уравнения. Следовательно, коллинеарное преобразование, : одной стороны, линейное преобразование, с другой стороны, позволяют нам геометрические образы и их уравнения распределить по группам, и все свойства, которые образы группы имеют общими, изучать по простейшему представителю группы. Так, например, для нас кривые второй степени - эллипс, гипербола, парабола и окружность - являются равноправными ( как это выражают, называя их коническими сечениями) и в соответствии с этим мы можем на окружности или на параболе изучать все проективные свойства, общие всем этим образам. Аналогично в пространстве будут между собой родственными при действительных коллинеациях и, следовательно, не будут различными с точки зрения проективной геометрии, с одной стороны, поверхности - эллипсоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид и сфера, и, с другой стороны, линейчатые поверхности второй степени - однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. [43]
Остальные поверхности различимы в вещественном пространстве. Пара мнимых пересекающихся плоскостей - это единственная поверхность, вещественные точки которой образуют прямую. Цилиндры различаются между собой своими направляющими. Шесть основных поверхностей ( эллипсоид, гиперболоиды, конус, параболоиды) делятся на две равные группы отсутствием или наличием. Эллипс, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид различаются тем, что двуполостный гиперболоид имеет в плоском сечении гиперболу, а эллиптический параболоид - параболу. Во второй группе только гиперболический параболоид не имеет в плоском сечении эллипса, у однополостного гиперболоида есть параллельные прямолинейные образующие, а конуса нет. Оставшаяся часть задачи ( отличить цилиндры от основных поверхностей) предоставляется читателю. [44]
Остальные поверхности различимы в вещественном пространстве. Пара мнимых пересекающихся плоскостей - это единственная поверхность, вещественные точки которой образуют прямую. Цилиндры различаются между собой своими направляющими. Шесть основных поверхностей ( эллипсоид, гиперболоиды, конус, параболоиды) делятся на две равные группы отсутствием или наличием. Эллипс, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид различаются тем, что двуполостный гиперболоид имеет в плоском сечении гиперболу, а эллиптический параболоид - параболу. Во второй группе только гиперболический параболоид не имеет в плоском сечении эллипса, у однополостного гиперболоида есть параллельные прямолинейные образующие, а конуса нет. Оставшаяся часть задачи ( отличить цилиндры от основных поверхностей) предоставляется читателю. [45]