Cтраница 4
Рассмотрим теперь конечномерный случай, когда опорных точек ( и опорных гиперплоскостей) может быть несколько. Ясно, что через вершину у / может проходить более одной опорной гиперплоскости. [46]
F, ( А) j / eW, называется опорной гиперплоскостью для С, проходящей через точку А. В этом случае точка х является граничной точкой множества С. Действительно, если МЛ) А, ], Jt C, ЛИ0, то из условия (1.4.1) следует, что х нвляется проекцией точки ( л Л) на множество С. В частности, если множество С ограничено, то, используя свойство слабой компактности замкнутых ограниченных множеств ( теорема 1.8.1), получаем oofs ( / i) [ h, х для некоторого х из С. [47]
Пусть ( d - 1) - грань F порождена опорной гиперплоскостью Я. [48]
Тогда для каждой опорной гиперплоскости av конуса в точке О существует параллельная опорная гиперплоскость aF гиперповерхности F с той же внешней нормалью. [49]
Важными следствиями из теоремы об отделимости выпуклых множеств являются теоремы об опорных гиперплоскостях. [50]
Теорема 28.12. Через каждую граничную точку выпуклого множества проходит хотя бы одна опорная гиперплоскость этого множества. [51]
Следствие 1.5. Для всякого замкнутого ограниченного выпуклого множества W a Ed существует опорная гиперплоскость к W с любым заданным направляющим вектором. [52]