Cтраница 1
Полная выпуклая гиперповерхность F, удовлетворяющая уравнению ( 1), регулярна без предположения строгой выпуклости. [1]
Бесконечно гладкая компактная выпуклая гиперповерхность, граница тени которой не дифференцируема дважды. [2]
Если выпуклая гиперповерхность регулярна, по крайней мере дважды дифференцируема, и нормальные кривизны ее в любой точке и по любому направлению строго положительны, то опорная функция обладает той же степенью регулярности. В этом случае первые производные опорной функции дН / dxi имеют простое значение: это координаты точки, в которой опорная плоскость с внешней нормалью направления xt касается гиперповерхности. [3]
Тогда выпуклая гиперповерхность F: г г ( х) имеет ограниченную удельную кривизну. [4]
Рассмотрим теперь выпуклые гиперповерхности F и Fi9 задаваемые функциями z ( д:) и Zj ( x) соответственно в области GI. Функции z ( д:) и zx ( x) обладают следующими свойствами. [5]
Тогда замкнутая многогранная выпуклая гиперповерхность, содержащая внутри точку О, определяется одно-значно проекциями вершин на единичную сферу с центром О и условными кривизнами в вершинах. [6]
Для общих выпуклых гиперповерхностей вводится понятие площади так же, как и для регулярных ( гладких) гиперповерхностей. Именно, данное множество М на гиперповерхности разбивается на попарно не пересекающиеся подмножества малого диаметра, каждое из этих подмножеств проектируется на опорную гиперплоскость в одной из его точек и в качестве площади гиперповерхности на множестве М принимается предел суммы площадей проекций, когда диаметры подмножеств неограниченно убывают. [7]
Для общих выпуклых гиперповерхностей гауссова кривизна может не существовать ни в одной точке, хотя выпуклая гиперповерхность почти всюду дважды дифференцируема. [8]
Итак, выпуклая гиперповерхность однозначно, с точностью до параллельного переноса, определяется своей поверхностной функцией. В частности, выпуклый многогранник определяется однозначно направлениями и площадями граней. [9]
Тогда существует замкнутая выпуклая гиперповерхность, содержащая внутри точку О и такая, что ее кривизна на любом борелевском множестве равна значению функции ( л на проекции этого множества. [10]
Тогда существует выпуклая гиперповерхность F: z z ( x), проекция которой на гиперплоскость 2 0 покрывает множество М и которая в точках, проектирующихся в М, имеет бесконечную кривизну. [11]
Теорема 6.3. Замкнутая выпуклая гиперповерхность F, существование которой утверждается теоремой 3.4, регулярна, если функции 9 и ф регулярны. [12]
При рассмотрении выпуклых гиперповерхностей, однозначно проектирующихся на координатную гиперплоскость z 0, нам будет удобнее вместо сферического отображения пользоваться нормальным отображением. [13]
Условная кривизна выпуклой гиперповерхности является вполне аддитивной функцией на борелевских множествах. [14]
Пусть М - гладкая замкнутая выпуклая гиперповерхность в Rn 1 и тг: Rn 1 - Rn - линейное проектирование. Образ тг ( М) гиперповерхности М называется ее тенью. [15]