Cтраница 3
Отметим некоторые свойства сферического изображения и кривизны выпуклых гиперповерхностей, используемые в дальнейшем. [31]
Выясним, с каким уравнением связано определение замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной условной кривизной. [32]
К такому уравнению сводится проблема Минковского о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной гауссовой кривизной, как функции единичного вектора нормали к гиперповерхности. [33]
Из всего сказанного выше видно, что переход от выпуклой гиперповерхности к двойственной ей локально задается преобразованием Лежандра. [34]
Монография посвящена регулярному решению известной проблемы Минковского о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной гауссовой кривизной, а также ряду вопросов геометрии и теории дифференциальных уравнений с частными производными, примыкающих к этой проблеме. В частности, здесь рассматривается общая проблема существования замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной функцией кривизны любого порядка. Изучаются обобщенные решения многомерного аналога уравнения Монжа - Ампера, при известных условиях доказывается их регулярность, решается задача Дирихле. Рассматриваются несобственные выпуклые аффинные гиперсферы и в случае их полноты доказывается, что все они являются эллиптическими параболоидами. Книга может быть рекомендована студентам, аспирантам и научным работникам в области геометрии и теории дифференциальных уравнений. [35]
Условие текучести в обобщенных напряжениях (4.10) в общем случае представляет собой выпуклую гиперповерхность. [36]
С помощью поверхностной функции просто определяется объем тела, ограниченного выпуклой гиперповерхностью. [37]
Множество всех гиперплоскостей, опорных к данной выпуклой гиперповерхности, называется двойственной выпуклой гиперповерхностью. [38]
Для общих выпуклых гиперповерхностей гауссова кривизна может не существовать ни в одной точке, хотя выпуклая гиперповерхность почти всюду дважды дифференцируема. [39]
Выпуклое множество, содержащее внутренние точки, называется выпуклым телом, а его граница - выпуклой гиперповерхностью. Выпуклая гиперповерхность, ограничивающая конечное выпуклое тело, является многообразием, гомеоморфным сфере. Гомеоморфизм устанавливается проектированием из любой внутренней точки на сферу с центром в этой точке. [40]
Так же как в работе, посвященной многомерной проблеме Минковского, здесь рассматривается более общая геометрическая проблема о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной условной кривизной. Ее решение сводится к исследованию уравнения Монжа-Ампера общего вида с правой частью, содержащей не только независимые переменные, но также искомую функцию и ее первые производные. [41]
Теорема 2.5. Пусть функция 9 ( р, z, л:), определяющая условную кривизну, строго убывающая по г. Тогда выпуклая гиперповерхность z z ( x), x с G, однозначно определяется своим краем и условной кривизной на всех борелевских множествах. [42]
Выпуклое множество, содержащее внутренние точки, называется выпуклым телом, а его граница - выпуклой гиперповерхностью. Выпуклая гиперповерхность, ограничивающая конечное выпуклое тело, является многообразием, гомеоморфным сфере. Гомеоморфизм устанавливается проектированием из любой внутренней точки на сферу с центром в этой точке. [43]
Так как при 5 - 0 многогранные гиперповерхности F ограничены в совокупности, то из них можно выделить сходящуюся последовательность. Предельная выпуклая гиперповерхность Ф для этой последовательности содержит точку О внутри, и ее условная кривизна на любом боре-левском множестве равна значению функции [ д, на проекции этого множества. [44]
Пусть F - выпуклая гиперповерхность, хп - последовательность точек гиперповерхности, сходящаяся к точке х0, и ап - опорная гиперплоскость F в точке хп. [45]