Cтраница 2
Она также представляет собой многогранную выпуклую гиперповерхность. [16]
Допустим, существуют две различные замкнутые выпуклые гиперповерхности Рг и Fa содержащие точку О внутри, с равными условными кривизнами на множествах точек этих гиперповерхностей, имеющих общую проекцию на сфере S. [17]
Сферическим изображением множества М выпуклой гиперповерхности F называется множество концов единичных векторов внешних нормалей к опорным гиперплоскостям в точках множества М, перенесенных началом в центр единичной сферы. Сферическое изображение замкнутого множества является замкнутым множеством. Сферическое изображение открытого множества, вообще говоря, не является открытым. Однако сферическое изображение любого борелевского множества является борелевским. [18]
Я - заданная опорная функция выпуклой гиперповерхности с положительной гауссовой кривизной, a Z - положительно однородная первой степени искомая функция. [19]
Таким образом, для существования выпуклой гиперповерхности с заданной функцией кривизны условие ( 1) является необходимым. Однако, как показал А. Д. Александров, при k п условие ( 1) не является достаточным. [20]
Гауссовой кривизной в данной точке выпуклой гиперповерхности называется предел отношения площади сферического изображения области на гиперповерхности к площади области, когда область стягивается к данной точке. [21]
Докажем некоторые свойства условной кривизны выпуклой гиперповерхности, которые используются в дальнейшем изложении. [22]
Множество особых точек сферического изображения выпуклой гиперповерхности имеет нулевую меру. [23]
В ближайших рассмотрениях условной кривизной выпуклой гиперповерхности z z ( x) мы будем называть просто площадь ( меру) нормального изображения гиперповерхности. Будем говорить, что в точке X гиперповерхности удельная кривизна ограничена, если для любой достаточно малой окрестности этой точки удельная кривизна в ней ограничена постоянной, не зависящей от выбора окрестности. Если при стягивании окрестности к точке X удельная кривизна в ней неограниченно растет, то будем говорить, что в точке X гиперповерхность имеет бесконечную удельную кривизну. [24]
При k О это верно: выпуклая гиперповерхность звездна относительно любой точки ограниченной ею области. [25]
При k О это верно: выпуклая гиперповерхность аффинна. [26]
Важным понятием для выпуклых тел и выпуклых гиперповерхностей является понятие опорной функции. [27]
Множество всех гиперплоскостей, опорных к данной выпуклой гиперповерхности, называется двойственной выпуклой гиперповерхностью. [28]
Таким образом, есть возможность приближать произвольную выпуклую гиперповерхность многогранными. [29]
Область на границе выпуклого тела называется выпуклой гиперповерхностью. Вся граница выпуклого тела называется замкнутой выпуклой гиперповерхностью. Такая гиперплоскость называется опорной. Нормаль к опорной гиперплоскости, направленная в полупространство, содержащее тело, называется внутренней нормалью, а нормаль противоположного направления-внешней. [30]