Cтраница 4
Из множества многогранных гиперповерхностей F B при б, е - 0 можно выделить последовательность Fn, сходящуюся для любой области G, замыкание которой содержится в G. Пусть F - выпуклая гиперповерхность, являющаяся пределом этой последовательности. Утверждается, что условная кривизна гиперповерхности F на любом борелевском множестве т равна значению заданной функции [ А на проекции т этого множества. [46]
Выпуклая функция почти всюду дифференцируема. Поэтому почти все точки выпуклой гиперповерхности гладкие. Что касается конических точек, то их множество не более чем счетное. [47]
Область на границе выпуклого тела называется выпуклой гиперповерхностью. Вся граница выпуклого тела называется замкнутой выпуклой гиперповерхностью. Такая гиперплоскость называется опорной. Нормаль к опорной гиперплоскости, направленная в полупространство, содержащее тело, называется внутренней нормалью, а нормаль противоположного направления-внешней. [48]
Доказывается, что множество тех точек на единичной сфере, для которых отображение, обратное сферическому, неоднозначно, имеет меру нуль. Отсюда следует, что вся кривизна выпуклой гиперповерхности сосредоточена на множестве точек строгой выпуклости. [49]
В [3] доказано также, что эти оценки нельзя улучшить. Например, при подходящем тг видимый контур типичной выпуклой гиперповерхности, лежащей на границе Ы ( случай га 1), уже не является гладким. [50]