Cтраница 2
Теоремы 1.2 и 1.3 глубже, чем теорема 1.1. В их доказательстве используется вариант гипотезы Римана для кривых X над F, доказанный А. [16]
Сходимость ряда ( 1) для о 1 / 2 является необходимым и достаточным условием для справедливости гипотезы Римана. [17]
Артином [1], к-рый заметил, что они являются рациональными функциями от t и для них в нек-рых случаях верен аналог гипотезы Римана о нулях. [18]
Истинные порядки величин разностей Р ( х), Q ( x) и R ( x) неизвестны, даже в предположении справедливости гипотезы Римана. Проблема заполнения пробела между результатами теоремы 30, с одной стороны, и теорем 34 и 35 - с другой, является одной из наиболее важных нерешенных проблем всей теории. [19]
Еще Риман высказал предположение, что все комплексные нули C ( s) лежат на критической прямой 1 / 2 - Это предположение, носящее теперь название гипотезы Римана, до сих пор не доказано и не опровер. [20]
Игуза [27] доказал эту гипотезу для случая Cf 0 с помощью оценки Делиня [8] для экспоненциальных сумм над F которая, в свою очередь, опирается на гипотезу Римана для многообр 3 наД Fq. [21]
Но неравенство n ( xX ix и формула Римана приобретают известный смысл, если их рассматривать с точки зрения верности в среднем, во всяком случае, если гипотеза Римана справедлива. [22]
Если оценка ( 2) справедлива, то этот интеграл сходится равномерно для оо01 / 4, предоставляемая им функция регулярна в полуплоскости о1 / 4и, следовательно, гипотеза Римана верна. Таким образом, оценка ( 2) является необходимым и достаточным условием справедливости гипотезы Римана. [23]
Наоборот, если оценка ( 2) справедлива, то с помощью преобразования Абеля мы убедимся в сходимости ряда ( 1) для о 1 / 2 и, следовательно, в справедливости гипотезы Римана. [24]
Эти результаты, полученные фон Кохом1) в 1901 г., содержат самую лучшую оценку остаточных членов в формулах для ф ( х) и я ( лг), выведенную на основании гипотезы Римана. [25]
Правда, в среднем нули отделены друг от друга даже большим расстоянием, так что весьма возможно, что этот ряд сходится и в обычном смысле, но для доказательства этого факта нехва-тает даже гипотезы Римана. [26]
Для разрешения вопроса об изменениях знака Р ( х) мы докажем ряд теорем, из которых в совокупности будет следовать, что соотношения ( 10) имеют место независимо от справедливости или ложности гипотезы Римана. Эти теоремы гораздо более трудны, чем предшествующие, так что нам представляется необходимым, прежде чем перейти к их подробным доказательствам, указать в общих чертах руководящие идеи, лежащие в их основе. [27]
Доказательство гипотезы Римана значительно улучшило бы теоремы де-ла - Вал-ле - Пуссена и Литтльвуда о порядке ошибки тс ( лг) - х, и обратно: истинный порядок этой ошибки не может быть определен, раз только справедливость гипотезы Римана находится под сомнением. [28]
Несомненно, что к разрешению этого вопроса вскоре будут применены новые методы вычислений. Гипотезу Римана, конечно, нельзя доказать вычислительными методами, но если она неверна, то ее можно опровергнуть, установив с помощью вычислений какие-либо противоречащие ей случаи. [29]
Мы увицим, что на основе этой гипотезы может быть построена весьма стройная теория, и это лишний раз подтверждает ее справедливость. Если гипотеза Римана будет доказана, то теоремы этой главы займут свое месю в теории функции С ( s) и сделают ненужными многие кропотливые оценки, найденные в предыдущих главах. [30]