Cтраница 3
Но гипотеза Римана позволяет дать и несколько более точные оценки. [31]
Конечно, между числами хп имеются соотношения, которые опровергают слишком простые соображения такого вида. Если гипотеза Римана верна, то должно существовать какое-то соотношение, в настояшее время еще неизвестное, из-за которого такая возможность вообще не может осуществиться. [32]
Это предположение до сих пор не доказано и не опровергнуто. Оно содержит в себе гипотезу Римана, но не является ее следствием. [33]
В следующей статье содержится парадоксальный подход к одной знаменитой нерешенной проблеме. В статье утверждается, что гипотеза Римана ( в которой случайности нет. [34]
В противоположность римановой дзета-функции мы построим сейчас функцию, для которой имеется сходное функциональное уравнение и остаются справедливыми многие теоремы этой главы, но которая не имеет эйлерова произведения. Для нее гипотеза, аналогичная гипотезе Римана, заведомо неверна. [35]
Ьго именем названы: римановы поверхности и многообразия, гипотеза Римана о нулях дзета-функции, матрица Римана, функция Римана, геометрия Римана. [36]
Однако более точные результаты могут быть получены и независимо от гипотезы Римана с помощью диофантовых приближений. [37]
Хотя, как мы уже отмечали, вопрос о доказуемости любой теоремы в принципе сводим к диофантову уравнению, конкретные задачи могут допускать естественное сведение, минуя формальный язык. В этой статье, в частности, дана дио-фантова форма гипотезы Римана л проблемы четырех красок. [38]
Отсюда тем же путем, что и выше, получаем утверждение теоремы. IX, показывает, что последняя теорема верна и независимо от гипотезы Римана. Для случая S ( t) метод Зельберга дает при In t показатель степени х / 3 вместо показателя 1 / 2, получаемого из гипотезы Римана. [39]
Если оценка ( 2) справедлива, то этот интеграл сходится равномерно для оо01 / 4, предоставляемая им функция регулярна в полуплоскости о1 / 4и, следовательно, гипотеза Римана верна. Таким образом, оценка ( 2) является необходимым и достаточным условием справедливости гипотезы Римана. [40]
Мы показали, таким образом, двумя различными путями, что теорема о простых числах Адамара и Балле Пуссена может быть сведена к тауберовой форме и доказана этим путем. Это приводит к предположению, что и более тонкие теоремы о распределении простых чисел также могут быть сведены к тауберовой форме, в частности, теоремы, опирающиеся на гипотезу Римана. Автор не надеется, что таубе-ровы методы дадут много в этой более широкой области. В теоремах 4 и 5 было отмечено, что для того, чтобы доказать, что некоторое выражение стремится к пределу, мы делаем предположения, которые тривиальным образом достаточны для достижения ограниченности. [41]
Проблема нулей дзета-функции, по всей видимости, упирается в вопрос об использовании свойства се представимости эйлеровым произведением за пределами области его сходимости. Известны функции, у которых разложение в ряд Дирихле и функциональное уравнение очень сходны с разложением и функциональным уравнением для C ( s), но эти функции не имеют эйлерова произведения и для них не имеет места аналог гипотезы Римана. Более того, самые глубокие результаты о распределении нулей C ( s) получены именно на этом пути. Но всякая попытка эффективного использования представления ( 1) слева от ирямой о1 иаталкивается на серьезнейшие трудности. [42]
Пусть теперь X - схема конечного типа над Spec Z такая, что ее общий слой X zQ является непустым ал-гебраич. Что касается аналога гипотезы Римана, то он в этой ситуации даже не сформулирован. [43]
X определена над незамкнутым полем k, то одним из важнейших является вопрос о существовании и нахождении рациональных точек X ( k) кривой X. X над конечным полем k доказано неравенство N - q - 1 i2g Уд, где N - число точек кривой X, рациональных над конечным расширением L поля k, q - число элементов поля L, a g - род кривой X. Это неравенство эквивалентно гипотезе Римана о нулях - функции кривой X - все нули - функции лежат на вертикальной прямой а 1 / 2 ( см. Дзета-функция в алгебраич. [44]
Следующие проблемы касаются оснований геометрии, понятия непрерывной группы преобразований по Ли - необходима ли дифференцпруемость. Затем следует несколько частных проблем, сперва относящихся к арифметике и алгебре. Не были известны также доказательство гипотезы Римана относительно нулей дзета-функции и формулировка наиболее общего закона взаимности в теории чисел. [45]