Cтраница 4
Инварианты гомеоморфизмов являются особенно важными. Они называются топологическими свойствами. Так как обратное отображение к гомеоморфизму также является гомеоморфизмом, то понятия инварианта и обратного инварианта в классе гомеоморфизмов совпадают. Таким образом, топологическое пространство X обладает свойством 3 в том и только том случае, когда этим свойством обладает любое гомеоморфное X пространство. Так как гомеоморфизм f: X - - Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и открытыми множествами обоих пространств, то каждое свойство, определенное в терминах открытых множеств и в терминах теории множеств, является топологическим свойством. [46]
Группы гомеоморфизмов многообразий рассматриваются в компактно-открытой топологии. [47]
Для гомеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения а - и со-предельиые множества всех траекторий совпадают. [48]
При гомеоморфизме h: F - F меридиан mi переходит в кривую h ( mi), не разбивающую F. Согласно лемме 13.3 существует огомеоморфизм Д, переводящий h ( mi) в тг. Кривая mj разбивает свою е-окрестность V на две части t / i и Uz - Тал как гомеоморфизм f [ h сохраняет ориентацию и тождествен на mj, то он переводит точки [ /, близкие к mi, в точки внутри Ui - Это означает, что если мы разрежем F вдоль кривой mi, то гомеоморфизм f ( h будет гомеоморфизмом полученной поверхности, тождественным на ее крае. После д таких разрезаний получим гомеоморфизм f f [ h круга с дырками, тождественный на крае. Согласно теореме 7.6 этот гомеоморфизм изотопен композиции скручиваний Дена, а значит, гомеоморфизм h тоже изотопен композиции скручиваний Дена. [49]
ДИФФЕОМОРФИЗМ - гомеоморфизм, являющийся дифференцируемым отображением. [50]
Если дан гомеоморфизм / а: аХ - - аУ, то отображение, вообще говоря, многозначное, / Яу / аях1 неприводимо и совершенно. Это фундаментальное свойство означает, что А. Если регулярное пространство X, соответственно, бикомпактно, финально компактно, полно в смысле Чеха, то тем же свойством обладает и А. [51]