Cтраница 4
Мы говорим, что моноид М удовлетворяет R, если для любого гомоморфизма ср: Х - - М имеем ф ( и) ф ( о) для любой пары ( и, v) R. R) всех моноидов, удовлетворяющих множеству R тождеств, является многообразием моноидов. Обратное также верно: для любого многообразия Ж моноидов существует такое множество R тождеств, что ( R) ( упр. Это знаменитый результат, принадлежащий Биркгофу [1935] и справедливый для любой алгебраической структуры. [46]
L над полей К существует ассоциа - тинная алгебра над тем же полем, содержащая L в качестве подалгебры. Более того, существует такая ассоциативная алгебра V ( L) и такой мономорфизм ( вложение) i: L - - - U ( L) i, что любой гомоморфизм /: L - t - A, где А - ассоциативная алгебра, представим в виде / qwi, где р: U ( L) - - A - однозначно определенный гомоморфизм алгебр. Алгебра V ( L) ( вместе с мономорфизмом i) определена для L однозначно и наз. [47]
Тогда любой гомоморфизм ср: S - К продолжается до гомоморфизма ф: R - K. Если x& R, а е / С, то ф можно продолжить сначала до гомоморфизма S [ x ] - K, отображающего к в а ( а затем, дальше продолжить на R, так как кольцо R цело над S [ х ]) при условии, что / ( л:) 0 влечет / Ф ( а) 0 при f ( T) S [ T ] ( здесь / ф ( Г) - полином над / С, полученный применением ф к каждому коэффициенту полинома f ( T)) [ Л, IX, § 3 ], [ AM, гл. [48]
Заметим, что fi m всегда лежит в Mt. Кроме того, значение f m однозначно определяется компонентой т е т, так как f m fijnij. Наоборот, если g: Mt - Mt - любой гомоморфизм, можно определить гомоморфизм g: М - М по правилу gm gnij ( где mt е т), и, очевидно, g будет лежать в Eti. [49]
Ряд работ посвящен другим обобщениям квазифробениусовых колец. Эти кольца характеризуются, в частности, тем, что любой точный проективный модуль является образующим категории всех модулей. Ософская [299] рассматривает кольцо Л, являющееся инъективным кообразую-щим категории всех Л - модулей, и доказывает, что такое кольцо разлагается в прямую сумму неразложимых левых идеалов, а факторкольцо Л / / ( Л) оказывается артиновым. Высказанное свойство кольца Л равносильно любому из следующих: 1) Л - самоинъективно, Л / / ( Л) артиново, каждый ненулевой левый идеал кольца Л содержит минимальный; 2) Л / / ( Л) артиново и каждый точный Л - модуль является кообразующим; 3) Л самоинъективно и правый аннулятор любого максимального левого идеала отличен от нуля; 4) Л - инъективныи кообразующий. Като [211] показал, что кольцо Л является самоинъектив-ным оправа и слева кольцом, удовлетворяющим аннуляторным условиям для левых и правых идеалов, тогда и только тогда, когда все правые и левые циклические Л - модули рефлексивны ( см. [42], стр. Там же выясняется связь аннуляторных условий с рефлексивностью циклических модулей. Ко и Чандлер [100] исследуют возможность продолжения любого гомоморфизма /: С - Л, где С - циклический подмодуль свободного Л - модуля F до гомоморфизма f: F - A, а также связи этого условия с аннуля-торными условиями и со свойствами самоинъективных колец. В работах Жентиля [155] и Кайе ( 215 ] доказано, что самоинъективность сохраняется при переходе к кольцу м атриц. [50]